2024—2025学年吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知角的终边经过点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）

A．函数有两个零点

B．当时，

C．的解集是

D．，，使得

(★★★)6.定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.已知，，，则下列说法正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（）

A．

B．

C．1

D．

二、多选题

(★★★)9.若，则下列不等式成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)10.已知，则下列说法正确的是（）

A．

B．

C．

D．若，

(★★★★)11.定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（）

A．

B．

C．函数的所有零点之和为5

D．

三、填空题

(★★)12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为________.

(★★★)13.已知函数，，则实数a的值为______.

(★★★★)14.对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为________.

四、解答题

(★★)15.已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

(★★★)16.已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的最大值与最小值.

(★★★)17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

(★★★★)18.已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间与极值；

(2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围.

(★★★★★)19.对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的.当正整数n无限大时，若无限接近于常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记为.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.

(1)证明：对任意的，，恒成立；

(2)已知数列，的通项公式为：，，.

（i）判断数列，的单调性与有界性，并证明；

（ii）事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为.证明：对任意的，恒成立.