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2023-2024学年黑龙江省七台河市高三第二次阶段性测试数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在中,,,,若,则实数()
A. B. C. D.
2.设集合,集合,则=()
A. B. C. D.R
3.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为()
A. B. C. D.
4.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
5.已知,则p是q的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()
A.2 B. C.4 D.
7.已知数列的通项公式是,则()
A.0 B.55 C.66 D.78
8.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为()
A. B. C.8 D.6
9.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则()
A. B. C. D.
10.已知向量,,则向量与的夹角为()
A. B. C. D.
11.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},则=()
A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}
12.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)已知函数,则不等式的解集为____________.
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P是上底面
15.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.
16.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数,
(Ⅰ)当时,证明;
(Ⅱ)已知点,点,设函数,当时,试判断的零点个数.
18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,点为棱的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
19.(12分)已知函数.
(1)若不等式有解,求实数的取值范围;
(2)函数的最小值为,若正实数,,满足,证明:.
20.(12分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
21.(12分)一张边长为的正方形薄铝板(图甲),点,分别在,上,且(单位:).现将该薄铝板沿裁开,再将沿折叠,沿折叠,使,重合,且重合于点,制作成一个无盖的三棱锥形容器(图乙),记该容器的容积为(单位:),(注:薄铝板的厚度忽略不计)
(1)若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖,求,的值;
(2)试确定的值,使得无盖三棱锥容器的容积最大.
22.(10分)如图,在直角梯形中,,,,为的中点,沿将折起,使得点到点位置,且,为的中点,是上的动点(与点,不重合).
(Ⅰ)证明:平面平面垂直;
(Ⅱ)是否存在点,使得二面角的余弦值?若存在,确定点位置;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
将、用、表示,再代入中计算即可.
【详解】
由,知为的重心,
所以,又,
所以,
,所以,.
故选:D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.
2、D
【解析】
试题分析:由题,,,选D
考点:集合的运算
3、C
【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得
【详解】
当时,,
显然
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