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2024-2025学年
北京大学附属中学(行知、未名学院)2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷
考生须知:
1.本试卷共4页,分为两部分:第一部分为选择题,共40分;第二部分为非选择题,共60分.
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答,第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
3.考试结束后,考生应将答题卡放在桌面上,待监考员收回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知等差数列通项公式为,则公差为()
A5 B.4 C.2 D.3
2.下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的函数是()
A. B. C. D.
3.已知函数,下面说法正确的是()
A.在上的平均变化率为1 B.
C.是的一个极大值点 D.在处的瞬时变化率为2
4.在数列中,,且,则其前项的和为()
A.841 B.421 C.840 D.420
5.已知函数的定义域为,其导函数的图象如图所示,则下列结论中错误的是()
A.2是的极大值点 B.在处的切线斜率大于0
C. D.在上一定存在最小值
6.设等比数列的前项和为,则“”是“数列为递增数列”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知为等差数列,是其前项和,若,且,则当取得最大值时,()
A.3 B.6 C.7 D.8
8.若函数在上单调,则实数的取值范围是()
A B. C. D.
9.给出以下值:①,②,③,④,其中使得函数有且仅有一个零点的是()
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②④
10.李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣,于是模仿构造了一个数列:,,,.给出下列结论:
①;
②;
③设,则;
④设,则有最大值,但没有最小值.
其中所有正确结论的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
第二部分(非选择题共60分)
二、填空题共5小题,每小题4分,共20分.
11.已知等比数列中,,,则该数列的前项和为______.
12.设,使存在极值的一个的值可以是______.
13.设,若的单调减区间为,则______,______.
14.函数的定义如下表:
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
已知,且数列满足对任意的,均有.若,则正整数的值为______.
15.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”,相比二分法可以更快速给出近似值,至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图,设是方程的根,选取作为初始近似值.过点作曲线在处的切线,切线方程为,当时,称与轴的交点的横坐标是的1次近似值;过点作曲线在处的切线,切线方程为,当时,称与轴的交点的横坐标是的2次近似值;重复以上过程,得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”.
(1)当,时,的次近似值与次近似值可建立等式关系:______;
(2)若取作为的初始近似值,根据牛顿迭代法,计算的2次近似值为______(用分数表示).
三、解答题共4小题,共40分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.已知函数.
(1)求曲线在处切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)求函数在区间上的最小值.
17.已知数列为等差数列,,,数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)设,求数列的前项和.
18.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若,设,求证:不存在极大值.
19.已知数列是无穷数列,.
(1)若,,写出,的值;
(2)已知数列中,求证:数列中有无穷项为;
(3)已知数列中任何一项都不等于,且,记,其中为,中较大的数.求证:数列是递减数列.
北京大学附属中学(行知、未名学院)2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷简要答案
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
第二部分(非选择题共60分)
二、填空题共5小题,每小题4分,共20分.
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】(答案不唯一).
【13题答案】
【答案】
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