小学奥数专题 构造与论证.docx

学科培优数学

“构造与论证”

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知识定位

各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色．

【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。学生一定会说因为我看到的乌鸦都是黑的,所以天下乌鸦都是黑的！这样说明问题是不可以的。但是,如果我能看到一只白乌鸦,从而可以说明天下乌鸦不全是黑的。这种方法叫做举反例法,是很有说服力的一种方法！

知识梳理

【重点难点解析】

1.如何分类讨论及讨论结果的全面性。

2.与抽屉原理、数论、估算相结合的综合题。

3.如何设计最佳方案和选择最佳方案。

【竞赛考点挖掘】

迎春杯、华杯中经常出现。

与其他知识点相结合的综合性题目。

【授课批注】

小升初的考试中不会涉及到,但在杯赛中经常出现,尤其是迎春杯,华杯！所以,考杯赛的学生应着重学习。

例题精讲

【试题来源】

【题目】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?

【答案】10

【解析】因为必须是调换相邻的两卷,将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次,得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次,得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次,得到的顺序为54312；

最后将第l卷和第2卷对调即可．

所以,共需调换4+3+2+1=10次．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【答案】1997

【解析】最少要1997次,将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮．如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

甲、乙、丙三个班人数相同,在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l,2,3,4,…依次编号．当两个班比赛时,具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时,有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时,有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时,男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下,正好是24？

【答案】见解析

【解析】不妨设甲、乙比赛时,1～15号是男女对垒,乙、丙比赛时．在1～15号中有a台男女对垒,15号之后有9-a台男女对垒(0≤a≤9)

甲、丙比赛时,前15号,男女对垒的台数是15-a(如果1号乙与1号丙是男女对垒,那么1号甲与1号丙就不是男女对垒),15号之后,有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时,男女对垒的台数为15-a+9-a=24-2a≤24．仅在a=0,即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码,与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同,甲、丙比赛时,男、女对垒的台数才等于24．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有3堆小石子,每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子．问能否做到：

(1)某2堆石子全部取光?

(2)3堆中的所有石子都被取走?

【答案】见解析

【解析】(1)可以,如(1989,989,89)(1900,900,0)(950,900,950)

(50,0,50)(25,25,50)(O,0,25)．

(2)因为操作就两种,每堆取走同样数目的小石子,将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆,所以每次操作石子总数要么减少3的倍数,要么不变．现在共有1989+989+89=3067,不是3的倍数,所以不能将3堆中所有石子都取走．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】4个人聚会,每人各带2件礼品,分赠给其余