小学奥数专题 换元与通项归纳.docx

学科培优数学

“换元与通项归纳”

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知识定位

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。

在计算中,还原是化零为整,把繁琐的算式用一个字母代替,进而得到化简的目的,体现了数学的灵活性。但是和裂项一样要求学生善于观察,敢于发现算是中蕴藏的规律,巧妙利用规律使问题简化,这是对所有学习此部分学生提出的一个能力要求。

知识梳理

换元与通项归纳

1、“通项归纳”可以形象地说成“找规律,总结性的写出第n项”,它其实是我们解决奥数问题的一种重要思想,我们先通过几道题目体会这种思路,而后在较复杂的裂项中将充分展示它的魅力！如果发现式子中都是成规律的运算,可先找出通项公式,根据通项展示的规律性结论,解答问题。对于简单题目这样做也许会显得比较繁琐,当碰到较复杂的题目时,这个思路会很清晰的像我们展示其中蕴含的规律,大大简化计算过程。

2、换元则是将算式中相同的因数或因式利用一个或几个字母代替运算,使问题简化。

【重点难点解析】

1．寻找算式中相同的因式

2．寻找算式中变化的规律

1. 繁分的化简

【竞赛考点挖掘】

1．利用通项化简算式

2．繁分数的运算

例题精讲

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】设,则原式化简为：

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】设,

则原式可化为：.

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

【答案】9

【解析】设

原式

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】

设,则有

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】(7.88＋6.77＋5.66)×(9.31＋10.98＋10)－(7.88＋6.77＋5.66＋10)×(9.31＋10.98)＝______。

【答案】0.2

【解析】设7.88＋6.77＋5.66=a,9.31＋10.98=b.

原式=a（b＋10）-b(a＋10)=0.2

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】计算：

【答案】

【解析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况,

原式=

（法2）：

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】

原式

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】先找通项公式

原式

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】通项为：,

原式

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】

原式==

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】计算

【答案】

【解析】解：由可得：

原式=

=

=

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】

【答案】88

【解析】

可令,则上式

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】方法一:

发现1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,…,也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少,作为最终结果的单位分数的分母就是多少．

所以,原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55,所以最终计算结果为．

方法二：

,

方法三：先找出通项的规律为

有

而

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】

【答案】

【解析】虽然很容易看出＝,＝……可是再仔细一看,并没有什么效果,因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子,每一项的分母容易让我们想到公式,

于是我们又有．

减号前面括号里的式子有10项,减号后面括号里的式子也恰好有10项,是不是“一个对一个”呢？

＝

＝

＝

＝＝＝＝．

【知识点】换元与通项归纳

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】计算下列式子的值：

【答案】396024

【解析】找规律,平方项每一项的数的个数逐次减少,最后一项随平方项的增加而增加,因此我们当里面有1项,2项,3项……时,有198012×2=396024.

【知识点】换元与通项归纳

【适用