小学奥数专题 平面几何综合.docx

学科培优数学

“平面几何综合”

学生姓名

授课日期

教师姓名

授课时长

知识定位

本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

知识梳理

直线型图形五大模型

模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：

即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S1︰S2=a︰b；

模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）

如图,三角形AED占三角形ABC面积的×=

模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）

S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4

②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）

模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

S1︰S3=a2︰b2

②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;

③S的对应份数为（a+b）2

模型四：相似三角形性质

①;

②S1︰S2=a2︰A2

模型五：燕尾定理

S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；

S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；

S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；

【重点难点解析】

三角形的相似问题

四边形中的蝴蝶定理

三角形中燕尾定理的运用

【竞赛考点挖掘】

三角形或四边形中的部分面积求解

相似形的相关性质

多边形内角和

圆与圆弧的相关图形面积和周长求解

例题精讲

【试题来源】

【题目】如图,长方形ABCD中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是_____.

【答案】119

【解析】连结DE,依题意

,

得AO=12.于是可推知

,

又因为,

所以OE=.

这样可得,从而有

【知识点】平面几何综合

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如下左图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l,那么三角形DEF的面积是_____.

【答案】18

【解析】连结AE、BF、CD(如上右图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等,而底边EB=2BC,所以三角形AEB的面积是2.同理,三角形CBF的面积是3,三角形ACD的面积是1.

类似地

三角形AED的面积=三角形AEB的面积=2.

三角形BEF的面积=2×(三角形CBF的面积)=6.

三角形CFD的面积=3×(三角形ACD的面积)=3.

于是三角形DEF的面积等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面积之和,即

1+2+3+1+2+6+3=18.

【知识点】平面几何综合

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图,三角形ABC的面积是1平方厘米,且BE=2EC,F是CD的中点．那么阴影部分的面积是()平方厘米．

【答案】

【解析】(平方厘米),(平方厘米).

又,

所以S(平方厘米)．

于是

=（平方厘米）.

又(平方厘米),

故(平方厘米)

因此,(平方厘米).

【知识点】平面几何综合

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】如图,已知AE=AC,CD=BC,BF=AB,那么

【答案】

【解析】连结辅助线AD.因为CD=

Bc,所以(等高的两个三角形面积之比等于底边之比)

同理

从而

连结辅助线BE、CF,同理可证

所以

【知识点】平面几何综合

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】如图,BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与梯形的一条腰DC平行,AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米,并且EC=BC.求梯形ABCD的面积.

【答案】28

【解析】三角形ABE的面积比三角形ABD大4平方米,而三角形ABD与三角形ACD面积相等(同底等高),因此也与三角形ACE面积相等,从而三角形ABE的面积比三角形ACE大4平方米.

但EC=BC,所以三角形ACE的面积是三角形ABE的,从而三角形ABE的面积是

4÷(1－)=12(平方米),

梯形ABCD的面积

=12×(1+×2)=28(平方米)

【知识点】平面几何综合

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图,平行四边形的花池边长分别为60米与30米．小明和小华同时从A点出发,沿着平行四边形的边由A→B→C→D→A…顺序走下去．小明每分钟走50米,小华每分钟走20米,出发5分钟后小明走到E点,小华走到F点．连结AE、AF,则四边形AECF的面积与平行四边形ABCD的面积的比是______．

【答案】1:3

【解析】小