2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学高三下学期第一次质量调查数学试题.docVIP

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学高三下学期第一次质量调查数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（）

A． B． C． D．

3．已知实数集，集合，集合，则（）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）

A． B． C． D．

5．已知复数满足，且，则（）

A．3 B． C． D．

6．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）

A． B． C． D．

9．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．在中，，则（）

A． B． C． D．

11．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

12．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知内角的对边分别为外接圆的面积为，则的面积为_________.

14．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）?（）＝0，则||的取值范围是_____．

15．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.

16．设向量，，且，则_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数，，其中，为正实数.

（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；

（2）设，证明：对任意，都有.

18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；

（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.

19．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

20．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.

（1）证明:点在轴的右侧;

（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率

21．（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

22．（10分）记为数列的前项和，N.

（1）求；

（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，

由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，

又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，

利用球的性质可得，

又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，

所以球心到底面的距离为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

2、B

【解析】

根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得k的值，可得要求的双曲线的方程．

【详解】

∵双曲线的渐近线