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《全称量词与存在量词》同步学案

情境导入

我们知道,命题是可以判断真假的陈述句.在数学学习和日常生活中,有时会遇到一些含有量词的陈述句,比如所有个位是1的数都是奇数,有的无理数的立方还是无理数,有的人中了大奖等,这些都是命题吗?如果是命题,又怎么判断它们的真假呢?

自主学习

自学导引

1.(1)短语“________”“_______”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“________”表示,常见的全称量词还有“________”“________”“________”等.

(2)含有________的命题,叫做全称量词命题.

(3)全称量词命题“对中任意一个成立”可用符号简记为_______.

2.(1)短语“________”“________”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“________”表示,常见的存在量词还有“________”“________”“________”“________”等.

(2)含有__________的命题,叫做存在量词命题.

(3)存在量词命题“存在中的元素成立”可用符号简记为________.

答案

1.(1)所有的任意一个一切每一个任给

(2)全称量词

(3)

2.(1)存在一个至少有一个有些有一个对某些有的

(2)存在量词

(3)

预习测评

1.下列全称量词命题为真命题的是()

A.所有的自然数都是正数

B.

C.对每一个无理数也是无理数

D.所有的整数都可以作分母

2.下列存在量词命题中真命题的个数是()

①;

②至少有一个整数,它既不是2的倍数,也不是3的倍数;

③.

A.0

B.1

C.2

D.3

3.下列命题中,是全称量词命题的是________;是存在量词命题的是_________(填序号).

①正方形的四条边相等;

②有两个角相等的三角形是等腰三角形;

③正数的平方根不等于0;

④至少有一个正整数是偶数.

4.存在量词命题“”是________(填“真”或“假”)命题.

答案

1.

解析:选项,0是自然数,但不是正数,选项错误;选项,为无理数,但为有理数,选项错误;0是整数,但不能作分母,故选项D错误.

2.C

解析:显然①是假命题,②是真命题,如;易知③是真命题,只需满足.故选C.

3.①②③④

解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”,是全称量词命题;④是存在量词命题.

4.假

解析:不存在任何实数,使得,所以是假命题.

新知探究

探究点1全称量词命题与存在量词命题的识别

知识详解

1.全称量词命题.

(1)概念.

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.

(2)表示.

将含有变量的语句用表示,变量的取值范围用表示.那么,全称量词命题“对中任意一个成立”可用符号简记为:,.

2.存在量词命题.

(1)概念.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

(2)表示.

存在量词命题“存在中的元素成立”可用符号简记为:.

典例探究

例1判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题:

(1)凸多边形的外角和等于;

(2)矩形的对角线相等;

(3)有的实数的平方小于1;

(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.

解析:判断是全称量词命题还是存在量词命题,关键在于找到其对应的短语,比如全称量词命题,就要找类似“所有”“一切”“每一个”等,存在量词命题,就要找类似“存在”“有一个”“有些”等词语.注意有的语句中虽然没有明显的词语用来判断,但也属于全称量词命题,比如(1)和(2).

答案:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和都等于,故为全称量词命题.

(2)可以改为所有矩形的对角线都相等,故为全称量词命题.

(3)含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.

(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.

变式训练1用全称量词或存在量词表示下列语句:

(1)不等式恒成立;

(2)当为有理数时,也是有理数;

(3)自然数的平方大于或等于零;

(4)方程有整数解.

答案:(1).

(2).

(3).

(4).

探究点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断

知识详解

1.全称量词命题的真假判定.

要判定全称量词命题“”是真命题,需要对集合中每个元素,证明成立,但要判定全称量词命题是假命题