苏XI友无密码课件第3章-集合的基本概念和运算.pptVIP

Chap.3集合的基本概念和运算集合论是研究集合一般性质的数学分支,它作为一门独立学科诞生于19世纪,创始人为乔治·康托(GeorgeCantor,1845-1918).康托建立的集合论一般称为古典(或朴素)集合论.集合论是全部现代数学的理论基础,已深入到现代科学的各个方面,集合的概念已成为表达各种严谨科学概念的必不可少的数学语言.集合论的语言适应于描述和研究离散对象及其关系,所以它是计算机科学和技术的基础理论和表达工具.集合论在程序语言、数据结构、开关理论、形式语言、关系数据库、编译原理、操作系统、人工智能、信息检索等领域都有着重要应用.本课程主要介绍集合论的基础知识,属于古典集合论的范畴.2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友1

§1集合的基本概念集合是人们直观上或思想上能够明确区分的一些对象所构成的一个整体.集合是在一定范围内所讨论的对象组成的整体.集合是把一些事物汇集到一起组成的一个整体.Cantor称集合是“一些确定的、不同的东西的总体.这些东西,人们能够意识到,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.”2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友2

集合中的事物、对象、客体称为集合的成员或元素.集合用大写英文字母表示,元素用小写英文字母表示.集合与元素之间的关系是属于或不属于的关系.如,一元素a,要么a?S,要么a?S.§1集合的基本概念2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友3

如果集合S中包含的元素个数是有限的,则称S为有限(有穷)集合,否则,称为无限(无穷)集合.称只有一个元素的集合为单元集,称两个元素的集合为二元集,一般地称有n个元素的集合为n元集.§1集合的基本概念2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友4

关于集合的定义需要注意:Note1集合的元素是彼此不同的.如,?1,1,2?=?1,2?.Note2集合的元素是无序的.如,?1,2,3?=?3,1,2?.Note3集合的元素可以是任何类型的事物,尤其可以是集合.如,A=?a,?a?,?b,c??.§1集合的基本概念2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友5

集合的描述或表示通常有下述三种方法:(1)列举法(枚举法):列举集合中的所有元素来表示某个集合.例如,A=?a,b,c,d?,N=?0,1,2,3,…?.(2)谓词法(隐式法\叙述法\抽象法):用集合元素所具有的共同性质来描述这个集合.可以用非形式化的自然语言描述,也可以用形式化的谓词表示.§1集合的基本概念2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友6

一般说来,任意的集合都可以用谓词法表示.例如,A=?a,e,i,o,u?,A=?x|x是英文中的元音字母?.B=?2,3,5,7?,B=?x|x是素数且x＜10?.C=?2,3,-5?,C=?x|x=2∨x=3∨x=-5?.由此可见,谓词法是表示集合的基本方法.§1集合的基本概念2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友8

§1集合的基本概念Def.1子集(Subset)设A和B是两个集合,如果A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集,也称A包含于B或B包含A.记为A?B或B?A.用谓词形式表示为:A?B??x(x?A→x?B).由定义,任意一个集合都是其自身的子集,即A?A.2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友9

§1集合的基本概念Def.2相等设A,B是集合,如果A?B且B?A,则称A和B相等.记为A＝B.若A和B不相等,记为A≠B.用谓词形式表示:A＝B?(A?B)∧(B?A)??x(x?A→x?B)∧?x(x?B→x?A)??x(x?A?x?B).2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友10

§1集合的基本概念Def.3真子集(RealSubset)设A,B为集合,如果A?B且A≠B,则称A是B的真子集,也称A真包含于B,或B真包含A.记为A?B.用谓词形式表示:A?B?(A?B)∧(A≠B)??x(x?A→x?B)∧?x(x?B∧x?A).2024/10/14北京林业大学信息学院苏喜友11

§1集合的基本概念Def.4全集由全体客体组成的集合称为全集.记为E或U.全集具有相对性,不同的问题有不同的全集,既使同一个问题,也可以有不同的全集.一般说来,全集取得小一些,问题的描述和处理会简单些.Def.5