第1章 坐标平面上的直线 （压轴题专练）（原卷版）.docx

第1章坐标平面上的直线（压轴题专练）

目录：

题型1：曲线的方程

题型2：坐标平面上的直线与函数

题型3：新定义的距离问题

题型4：点到直线的距离

题型5：直线与方程综合问题

题型1：曲线的方程

1．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线；存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（????）.

A．和均为真命题 B．和均为假命题

C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题

2．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：

①曲线上的点关于轴，轴对称；????②曲线上两点间的最大距离为；

③的取值范围为；????④曲线围成的图形的面积小于．

则以上命题中正确的序号有．

3．平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是“卡西尼卵形线”.假设是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点的轨迹为曲线，从而得到以下4个结论：

①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形；

②曲线过坐标原点；

③若，则：

④定义，则当时，卡西尼卵形曲线逐渐退化为两个点，即和.

其中正确结论的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

题型2：坐标平面上的直线与函数

4．已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：

①；?????②不存在点，使得；

③的值恒为；?????④四边形面积的最小值为．

其中，所有正确结论的序号是．

题型3：新定义的距离问题

5．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于.（保留3位小数）（参考数据：.）

6．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为．

7．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为.

(1)填空：(直接写出结论)

①若，则；

②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是；

③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为；

(2)设点A(1，0)，点B是直线上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标；

(3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)，同时满足下列两个条件：

①；

②

若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.

题型4：点到直线的距离

8．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断：

①若，则过M、N两点的直线与直线l平行；

②若，则直线l经过线段MN的中点；

③存在实数，使点N在直线l上；

④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交．

上述判断中，正确的是（????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

9．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．

(1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；

(2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；

(3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．

10．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.

(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；

(2)已知点?点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；

(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.

11．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数

（1）设，求面积的最小值；

（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出