第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 (高频考点-精练）（解析版）.docx

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．下列函数为奇函数的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

解：对于A：定义域为，且，

所以为偶函数，故A错误；

对于B：定义域为，且，

所以为奇函数，故B正确；

对于C：定义域为，且，

所以为偶函数，故C错误；

对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，

故为非奇非偶函数，故D错误；

故选：B

2．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（???????）．

A． B．

C． D．

【答案】C

函数为偶函数，则，

当时，是减函数，又，

则，则

故选：C

3．已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（???????）

A． B．8 C． D．24

【答案】A

解：由题意，定义在上的奇函数，可得，解得，

又由当时，所以，

故选：A.

4．已知是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使的的范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

依题意，是定义在上的偶函数，

上递减；上递增.

，

不等式，所以.

故选：D

5．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且，则（???????）

A．2019 B．3 C．－3 D．0

【答案】D

∵，∴，

又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

故选：D.

6．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

依题意对，有成立，

令，则，

所以，故，

所以是周期为的周期函数，

故.

故选：C

7．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

由题意可知，函数的周期为，又因为函数为奇函数，所以，可得.

故选：A.

8．已知函数为定义在R上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

由题意，函数均有，可得函数的图象关于对称，

又由在上单调递减，则在上单调递减，

因为，可得，

则不等式，可得，解得，

所以不等式的解集为.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数满足，且，则下列结论正确的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】CD

由条件，可知函数的周期，

因为，则.

故选：CD

10．已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（???????）

A．是偶函数 B．在上单调递增

C．4是函数的周期 D．在上单调递减

【答案】ACD

因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，故A正确；

满足，所以4是函数的周期，故C正确；

因为对任意的，且，都有，所以在上递增，又，所以在上单调递减，故D正确B错误；

故选：ACD

三、填空题

11．定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.

【答案】

由题意，函数在上为偶函数，所以，解得，

又由的图象关于轴对称，可得，

可得，可得的最大值为，即，

所以.

故答案为：.

12．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.

【答案】

由及奇函数的性质，可得，从而可知是定义在上的增函数，

所以，

所以，解得，所以解集为.

故答案为：

四、解答题

13．已知函数．

(1)当时，求值；

(2)若是偶函数，求的最大值．

【答案】(1)4(2)2

(1)解：当时，，

所以；

(2)因为是偶函数，

所以成立，

即成立，

所以，则，

所以的最大值为2．

14．已知函数

(1)若为奇函数，求a的值；

(2)若在上恒大于0，求a的取值范围.

【答案】(1)(2)

(1)由题意知，的定义域关于原点对称，

若为奇函数，则，

即，解得；

(2)由得，，

在，上，

在，上单调递增，

在，上恒大于0只要（3）大于0即可，即，

解得，

故的取值范围为．

15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0，2]时，

（1）求证：f(x)是周期函数；

（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

（3）计算.

【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1.

（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

∴f(x)是周期为4的周期函数.

（2）当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，

由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.

又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x.

又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数

∴f(x)=f(x-4)=