北师版高中数学必修第一册课后习题 第5章函数应用 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 (2).docVIP

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1.1利用函数性质判定方程解的存在性

课后训练巩固提升

1.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)0,f(2)0,则f(x)在区间(1,2)上零点的个数为().

A.至多有一个 B.有一个或两个

C.有且仅有一个 D.一个也没有

解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为一元二次函数,若f(x)在区间(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)0,与已知矛盾.故f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.

答案:C

2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是().

A.-1,(-1,0) B.(-1,0),0

C.(-1,0),-1 D.-1,-1

解析:由y=x+1=0,得x=-1,

故交点坐标为(-1,0),零点是-1.

答案:C

3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab),且α,β(αβ)是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是().

A.aαbβ

B.aαβb

C.αabβ

D.αaβb

解析:∵α,β是函数f(x)的两个零点,

∴f(α)=f(β)=0.

又f(x)=(x-a)(x-b)-2,

∴f(a)=f(b)=-20.

画出二次函数f(x)的大致图象,如图所示,

由图象可知,αabβ,故选C.

答案:C

4.已知函数f()(4x

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:令f()(4x3-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=4x3-1;令g(x)=-x

(第4题)

这两个函数图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)ma=1或2,个数为2.故选B.

答案:B

5.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为.?

解析:由题意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)0,解得12k3

又因为k为整数,故k=1.

答案:1

6.已知函数f(x)=3mx-4,若在区间[-2,0]上存在x0,使f(的取值范围是.?

解析:因为在区间[-2,0]上存在零点≤-23

所以,实数m的取值范围是-∞,-2

答案:-∞,-

7.若方程ax-x-a=0(a0,且a≠1)有两个实数解,则实数a的取值范围是.?

解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax与函数y=x+a的图象(图略),可知,当a1时,它们有两个交点,即方程ax-x-a=0有两个实数解.当0a1时,它们有一个交点,即方程有一个实数根.故实数a的取值范围是(1,+∞).

答案:(1,+∞)

8.已知关于x的方程x2-2x+a=0.求当a为何取值范围时:

(1)方程的一根大于1,另一根小于1;

(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内;

(3)方程的两个根都大于零.

解:(1)结合对应函数的图象知,当方程的一根大于1,另一根小于1时,f(1)0.由f(1)0,得1-2+a0,解得a1.

故a的取值范围为(-∞,1).

(2)由方程一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,得f(-

(3)由方程的两个根都大于零,

得Δ=4-

故a的取值范围为(0,1].

9.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.

(1)求k的值;

(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.

解:(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x).

即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,

所以log44x+14x-log

所以(2k+1)x=0,因为x不恒为0,所以k=-12

(2)由(1)知,f(x)=log4(4x+1)-12x,所以f(x)=log4(a·2x-a),即log4(4x+1)-12x=log4(a·2

整理得log4(4x+1)=log4[(a·2x-a)2x],

所以4x+1=(a·2x-a)·2x,①

令t=2x0,则①变为关于t的方程(1-a)t2+at+1=0.②

由题意知其仅有一正根.

当a=1时,t=-1不合题意;

当②式有一正根一负根时,

需有Δ=a

当②式有两相等的正根时,需有Δ=a2-

综上所述,实数a的取值范围为{a|a1,或a=-2-22}.