北师版高中数学必修第一册课后习题 第5章函数应用 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性.docVIP

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1.1利用函数性质判定方程解的存在性

课后训练巩固提升

一、A组

1.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)0,f(2)0,则f(x)在区间(1,2)上零点的个数为().

A.至多有一个 B.有一个或两个

C.有且仅有一个 D.一个也没有

解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为一元二次函数,若f(x)在区间(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)0,与已知矛盾.故f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.

答案:C

2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是().

A.-1,(-1,0) B.(-1,0),0

C.(-1,0),-1 D.-1,-1

解析:由y=x+1=0,得x=-1,

故交点坐标为(-1,0),零点是-1.

答案:C

3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab),且α,β(αβ)是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是().

A.aαbβ B.aαβb

C.αabβ D.αaβb

解析:设g(x)=(x-a)(x-b)(ab),作出g(x)的大致图象.则f(x)的图象可看作由g(x)的图象向下平移两个单位长度得到,如图所示.

由图象可知,αabβ,故选C.

答案:C

4.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为.?

解析:由题意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)0,解得12k3

又因为k为整数,故k=1.

答案:1

5.已知函数f(x)=3mx-4,若在区间[-2,0]上存在x0,使f(的取值范围是.?

解析:因为在区间[-2,0]上存在零点≤-23

所以,实数m的取值范围是-∞,-2

答案:-∞,-

6.若方程ax-x-a=0(a0,且a≠1)有两个实数解,则实数a的取值范围是.?

解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax与函数y=x+a的图象(图略),可知,当a1时,它们有两个交点,即方程ax-x-a=0有两个实数解.当0a1时,它们有一个交点,即方程有一个实数根.故实数a的取值范围是(1,+∞).

答案:(1,+∞)

7.已知关于x的方程x2-2x+a=0.求当a的取值范围是多少时:

(1)方程的一根大于1,另一根小于1;

(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内;

(3)方程的两个根都大于零.

解:(1)结合对应函数的图象知,当方程的一根大于1,另一根小于1时,f(1)0.由f(1)0,得1-2+a0,解得a1.

故a的取值范围为(-∞,1).

(2)由方程一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,得f(-

(3)由方程的两个根都大于零,

得Δ=4-

故a的取值范围为(0,1].

8.已知函数f(x)=x2-|x|+3+a有4个零点,求实数a的取值范围.

解:设g(x)=x2-|x|+3,则g(x)=x

画出其图象如图.

(第8题答图)

函数f(x)有4个零点,即方程g(x)+a=0有4个实根,即函数y=g(x)与y=-a的图象有4个交点,

由图知114-a3,解得-3a-11

故实数a的取值范围为-3

二、B组

1.已知a是函数f(x)=3x-log13x的零点,若0x0a,则f(x

A.f(x0)0 B.f(x0)0

C.f(x0)=0 D.f(x0)的符号不确定

解析:因为f(x)=3x-log13x=3x+log

所以f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.

又因为0x0a,所以f(x0)f(a)=0.故选A.

答案:A

2.函数y=f(x)=x2

A.1 B.2

C.3 D.4

解析:画出函数f(x)=x2

由图可知,f(x)的零点个数为2.

答案:B

3.已知函数f()(4x

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:令f()(4x3-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=4x3-1;令g(x)=-x

这两个函数图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)ma=1或2,个数为2.故选B.

答案:B

4.已知函数f(x)=x,x≤0,

解析:令g(=0,得f(的图象有3个交点.

在同一平面直角坐标系中,画出函数f(0时,两函数图象有3个交点,故实数m的取值范围为-1

答案:-

5.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.

(1)写出函数y=f(x)的解析式;

(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.

解:(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),

因为y=f(x)是奇函数,所以当x∈(-∞,0)时,