上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（解析版）.docx

曹杨二中高三月考数学试卷

2024.10

一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.设.若为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________.

【答案】-2

【解析】

【分析】先将展开化简，然后根据纯虚数的概念来求解的值.

展开,

因为，所以原式可化为.

因为为纯虚数，所以实部，解得.

此时虚部，符合纯虚数的定义.

故答案为：-2

2.函数的定义域为________.

【答案】.

【解析】

【分析】令即可求出的取值范围，从而可求出函数的定义域.

解：令，即，所以，

故答案为:.

3.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________.

【答案】28

【解析】

【分析】由分层抽样的性质结合题意计算即可；

由题意可得，要抽取的男生人数为人.

故答案为：28.

4.设，若圆的面积为，则__________．

【答案】3

【解析】

【分析】将圆化成标准方程得出半径，根据面积建立等式即可求解．

由题意得圆的标准方程为，

则圆的半径为，

圆的面积为，

解得：，

故答案为：．

5.在无穷等比数列中，首项，公比，记，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意求得，利用等比数列的求和公式求得，再利用数列极限的运算法则求得的值．

由题意可得，则，

，

故有，

故答案为：．

6.设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦函数的单调性，可得-π3

详解】当时，，

由题意可知，-π3ω-

故答案为：.

7.已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m=______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据二项式定理分别求出展开式中含的项，然后根据已知建立方程即可求解．

展开式中含的项为，含的项为，

所以由题意可得，解得.

故答案为：．

8.设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解.

由题意可得，令，则

令g(x

令,则

故在单调递增，在单调递减

故

故答案：.

9.设，，则不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并.

当时,首先求出的表达式，

因为，根据，而，所以，则.

然后解不等式，即，移项得到.

对于二次函数，其判别式，

且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式解为.

当时,求出的表达式，因为，根据的定义.

解不等式，即，移项得到，

因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为.

故答案为：.

10.已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得．

以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

因为等边的边长为6，

所以的内切圆圆心在上，半径，

则，，，，，

所以，，

所以，

所以当时，取得最小值．

故答案为：．

11.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个.

【答案】112

【解析】

【分析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（“严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.

先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过4000，所以分成千位数取值为1，2，3三种情况考虑：

若千位数为1，则后面百位，十位，个位数字比1大，

从剩下8个数字2,3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；

若千位数为2，则后面百位，十位，个位数字比2大，

则从剩下7个数字3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；

若千位数为3，则后面百位，十位，个位数字比3大，

则从剩下6个数字4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；

再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过4000，所以千位数取值为3，则后面百位，十位，个位数字比3小，

则从剩下3个数字0,1,2中选3个不重复的从左到右依次减小，共有种选法；

所以一共有个.

故答案：112.

12.设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利