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数值分析期末试题及答案

试题一：

1.简答题（共10分）

a)什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？

b)请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。

2.填空题（共10分）

a)欧拉方法是一种______型的数值解法。

b)二分法是一种______法则。

c)梯形法则是一种______型的数值积分方法。

3.计算题（共80分）

将以下函数进行数值求解：

a)通过使用二分法求解方程f(x)=x^3-4x-9=0的近似解。

b)利用欧拉方法求解微分方程dy/dx=x^2+2x+1,y(0)=1在x=1

处的解。

c)使用梯形法则计算积分∫[0,π/4]sin(x)dx的近似值。

试题二：

1.简答题（共10分）

a)请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。

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b)请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。

2.填空题（共10分）

a)数值稳定性通过______号检查。

b)龙格－库塔法是一种______计算方法。

c)零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。

3.计算题（共80分）

使用牛顿插值多项式进行以下计算：

a)已知插值节点(-2,1),(-1,1),(0,2),(1,4)，求在x=0.5处的插值

多项式值。

b)已知插值节点(0,1),(1,2),(3,7)，求插值多项式，并计算在x=2

处的值。

c)使用4阶龙格－库塔法求解微分方程dy/dx=x^2+1,y(0)=1。

答案：

试题一：

1.a)数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。它的

主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性

方程、数值积分和数值解微分方程等。

b)迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。迭代法通过反

复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数

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运算直接得到解。迭代法通常用于求解非线性方程、线性方程组和非

线性优化问题；而直接法常用于求解线性方程组和计算矩阵特征值等。

2.a)欧拉方法是一种一阶的数值解法。

b)二分法是一种迭代法则。

c)梯形法则是一种数值积分方法。

3.a)通过使用二分法，可以得到方程f(x)=x^3-4x-9=0的近似解

为x≈2.0801。

b)利用欧拉方法，可以得到微分方程dy/dx=x^2+2x+1,y(0)=1

在x=1处的解为y≈3.5。

c)使用梯形法则计算积分∫[0,π/4]sin(x)dx的近似值为0.7854。

试题二：

1.a)舍入误差是由于浮点数运算的有限精度而引起的误差。它会对

数值计算的结果产生影响，导致计算结果与实际值之间存在一定的误

差。

b)牛顿插值多项式是通过给定节点上的函数值和导数值，构造一

个多项式函数来逼近原始函数的方法。它可以用于函数插