5.1.1变化率问题(教学课件)--高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册.pptxVIP

5.1.1变化率问题(教学课件)--高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册.pptx

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第五章》

一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

5.1.1变化率问题

学习目标

活动方案检测反馈

学习目标

学习目标xUEXIMUBIAO

1.了解平均速度和瞬时速度的含义.2.通过瞬时速度理解极限的思想.

3.理解曲线的切线的斜率的意义.

活动方案

【解析】运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动的越来越慢,在下降阶段运动的越来越快.

探究在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位

:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=—4.9t²+4.8t+11.请描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度.

活动一了解物理中的平均速度

思考2

计算运动员在段时间里的平均速度时,你发现了什么?你

有什么想法?

【解析】v=0,用平均速度来刻画运动的快慢不是很合适,如果前后

时间间隔特别小,平均速度不能准确刻画其运动快慢.

【解析】用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状

态.

思考1▶p▶

运动中的快慢程度用什么量来刻画?

思考3DDD

平均速度只能反映在极小时间段内的大致运动状态,用什么量来精确刻画运动员的运动状态?

【解析】要用瞬时速度来精确刻画某一时刻的运动状态.

【解析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

活动二瞬时速度

⑩瞬时速度的定义:

【解析】要让时间间隔特别小,即△t(时间改变量)无限趋近于0的平均速度的值就是瞬时速度.

思考4D▶

如何用平均速度来理解瞬时速度?

例1请计算探究1中运动员在t=1t

的时间段的平均速度v,同时利用计算工具,分别计算△t=0.1,0.01,0.001,0.0001,…及△t=—0.1,—0.01,—0.001,—0.0001,…所对应的平均速度v.当△t无限趋近于0时,平均速度v有什么变化趋势?

同理可得当△t=—0.1时,v=—4.51;

当△t=—0.01时,v=—4.951;当△t=—0.001时,v=—4.9951;

当△t=—0.0001时,v=—4.99951;…当△t无限趋近于0时,平均速度v无限趋近于—5.

当△t无限趋近于0时的平均速度v就是该运动员在t=1s时的瞬时速

度,符号记,理解为运动员在t=1s时的瞬时速

度v(1)=—5m/s.注意这里的△t可以为正,也可以为负.

跟踪训练

⑩一个做直线运动的物体,其位移S与时间t的关系是S(t)=3t—t²(S的单位:m,t的单位:s).

⑩(1)求此物体的初速度;

⑩(2)求此物体在t=2s时的瞬时速度.

【解析】(1)因

所以即此物体的初速度为3m/s.

所,所以此物体在t=2s时的瞬时速度为

—1m/s.

【解析】设切线方程为y—1=k(x—1)(要考虑斜率是否存在),再把直线方程与抛物线方程联立,用△=0去解决.

思考5DD▶

利用所学的圆锥曲线的知识,如何求抛物线f(x)=x²在点P₀(1,1)处的切线方程?

活动三抛物线的切线的斜率

思考6DDD

类比瞬时速度是由平均速度演变而来的,如何求抛物线f(x)=x²在点P₀(1,1)处的切线方程?

【解析】我们通常在点P₀(1,1)的附近取一点P(x,x²),考察抛物线f(x)=x²的割线P₀P的斜率,再用逼近的思想求其切线的斜率.

4小结

抛物线y=x²在点P₀(1,1)处的切线的斜率就是

例2求曲线y=x³—2x+1在点(1,0)处的切线方程.

⑩设曲线y=x²在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为

将x₀=

检测反馈

01.若质点A按照规律S=3t²运动,则在t=3时的瞬时速度为()

⑩A.6B.18

10C.54D.81

B

2

3

2.已知曲线和这条曲线上的一点

的一点,则点Q的坐标为(C)

是曲线上点P附近

B.

D.

3.(多选)(2022·北京顺义牛栏山第一中学月考)已知物体甲、乙在时间0到t₁范围内路

程的变化情况如图所示,则下列说法中正确的是()

CD

A.在0到t。范围内,甲的平均o均速度

B.在t₀时刻,甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度

C.在t,到t₁范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在0到t₁范围内,甲

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