2024年初中九年级数学上册同步精品讲义（人教版）第24课 正多边形和圆（教师版）.docx

第24课正多边形和圆

课程标准

（1）了解正多边形和圆的有关概念及对称性；

（2）理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；

（3）会进行正多边形的有关计算.

知识点01正多边形的概念

1．概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件

(1)各边相等；

(2)各角相等；缺一不可.

如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

知识点02正多边形的重要元素

1．正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2．正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3．正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

【注意】

要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

知识点03正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；

当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【注意】

(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；

(2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.

知识点04正多边形的画法

1．用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2．用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形.

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.

②正六、三、十二边形的作法.

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分…….

【注意】

画正n边形的方法：(1)将一个圆n等份，(2)顺次连结各等分点.

考法01求正多边形的中心角

【典例1】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（????）

A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形

【答案】C

【详解】解：设多边形的边数是n．

则每个内角是，中心角是．

根据题意得：＝2×

解得：n＝6．

故选：C．

【即学即练】若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（????）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】A

【详解】解：设这个正多边形的边数是n，

由题意得：，

解得：n＝9，

故选A．

【典例2】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形内接于，

∴∠COD==60°，则∠COE=120°，

∴∠CME=∠COE=60°，

故选：D．

【即学即练】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（????）

A．30° B．32° C．36° D．40°

【答案】C

【详解】

如上图所示，连接OA，OE

∵五边形ABCDE是正五边形

∴

∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆

∴

故选：C．

考法02已知正多边形的中心角求边数

【典例3】如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（????）．

A．六 B．八 C．十 D．十二

【答案】D

【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，

∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，

∴,，

∴，

∴，

故选D．

【即学即练】如图，边AB是⊙O内接正六边