复变函数第四章.ppt

第四章级数§1复数项级数与幂级数按柯西积分公式,有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|d内成立.z0Kzrz2.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：例1解上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解(2)由幂级数逐项求导性质得：(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?1.定理由§2知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域?z-z0?R内展开成z-z0的幂级数。若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1?z-z0?R2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？例如，§3罗朗(Laurent)级数由此推想，若f(z)在R1?z-z0?R2内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。1.预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域Dz0R1R2rRk1k2D1z2.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在?z-z0?=R2内收敛，且和为s(z)+;在?z-z0?=R2外发散。z0R1R2z0R2R1**1.复数列的收敛与发散定义又设复常数：定理1证明2.复数项级数级数的前面n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：例1解定理2证明由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。性质定理3证明?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4解例2例3解练习：3.幂级数定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）证明(2)用反证法，由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。显然，??否则，级数(3)将在?处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，?逐渐变大，在c?内部都是红色,?逐渐变小，在c?外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.定理2推论3(根值法)推论1(比值法)例1解综上例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2?该级数在收敛圆上是处处收敛的。综上该级数发散。该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质代数运算---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算---幂级数的