2024—2025学年安徽省江南十校高三上学期第一次综合素质检测数学试卷.docVIP

2024—2025学年安徽省江南十校高三上学期第一次综合素质检测数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，，（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.记等差数列的前n项和为，已知，则（）

A．28

B．30

C．32

D．36

(★★)3.已知函数，则对任意实数x，有（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知，都是锐角，，，求（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（）

A．5

B．16

C．40

D．80

(★★★)6.已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.对于，恒成立，则正数的范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★)9.设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A．

B．

C．若，则或

D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为

(★★★)10.袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（）

A．

B．

C．与相互独立

D．与相互独立

(★★★★)11.定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（）

A．，

B．的值是19

C．函数有三个零点

D．过只可以作两条直线与图象相切

三、填空题

(★★)12.抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_________.

(★★★)13.已知样本的平均数为3，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为________.

(★★★)14.在中，，则的最大值为______.

四、解答题

(★★★)15.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.

(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；

(2)设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望.

(★★★)16.如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于.

(1)求证：；

(2)若，求二面角的余弦值.

(★★★★)17.已知，函数.

(1)证明存在唯一的极值点；

(2)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围.

(★★★)18.已知圆M：，动圆D过定点且与圆M内切，圆心D的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)曲线C上三个不同的动点P，E，F满足与的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶点重合，记P关于x轴的对称点为，线段的中点为H，O为坐标原点，证明：，H，O三点共线.

(★★★)19.设集合.对于数列，如果，，则称为“平方差数列”.

(1)已知在数列中，，.求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”；

(2)已知，判断是否为“平方差数列”?说明理由；

(3)已知数列为“平方差数列”，求证：，.