2024—2025学年北京市第五十五中学高三10月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市第五十五中学高三10月月考数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B等于（）

A．{0}

B．{1}

C．{2}

D．{1，2}

(★)2.已知复数，则（）

A．1

B．

C．

D．

(★★)3.的展开式中的系数为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)5.数列的前项和为，且，，则等于

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（）

A．为定值10

B．为定值6

C．有最大值为10

D．有最小值为6

(★★)7.如图，边长为1的正方体中，为边任意一点，将正方体挖掉三棱锥后，余下部分的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)9.已知为非零不共线向量，设条件，条件对一切，不等式恒成立，则是的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)10.如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点。则下列说法正确的是（）

①存在点Q，使得；②存在点Q，使得；③对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为；④对于任意点Q，都是钝角三角形

A．①②③

B．①④

C．②③

D．②④

二、填空题

(★)11.函数的定义域是________．

(★★)12.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为________.

(★★)13.若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是________，

(★★)14.已知函数，若，则的一个取值为__________.

(★★★★)15.设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是________.

①可能为等差数列；②可能为等比数列：③均能写成的两项之差；④对任意，，总存在，使得.

三、解答题

(★★★)16.在中，为锐角，且.

(1)求的值；

(2)若，，求和面积.

(★★★)17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，M为线段的动点.

(1)若直线平面，求证：为的中点：

(2)求证：平面平面

(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

(★★★)18.某技术职能部门在东区?西区开展了技能测试，其中东区?西区的各年龄段参加测试的人数?技能成绩的优秀比例如下：

年龄段

东区

西区

参加测试人数

优秀比例

参加测试人数

优秀比例

60

100

75

100

95

60

120

40

(1)该技术职能部门从年龄段在的参加测试人员中随机选择1人，求此人技能优秀的概率；

(2)在年龄段在的参加测恜人员中，从东区?西区各随机抽取1人，技能优秀人数记为，求的分布列和数学期望；

(3)该技术职能部门从东区?西区参加测试的人员中各随机抽取10人，记分别为东区?西区所选出10人中的技能优秀人数，试比较数学期望的大小（直接写出结果即可）.

(★★★★)19.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.

(★★★★)20.已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求的极值；

(3)当时，判断零点个数，并说明理由．

(★★★★)21.已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.

(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；

(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；

(3)求的最小值.