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第
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专题4.1数列的概念(重难点题型精讲)
1.数列的概念
数列的定义
一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号SKIPIF10表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用SKIPIF10表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用SKIPIF10表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{SKIPIF10}的第n项SKIPIF10与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4.数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列,必须给出:
基础——数列{SKIPIF10}的第1项(或前几项);
递推关系——数列{SKIPIF10}的任意一项SKIPIF10与它的前一项SKIPIF10(SKIPIF10)(或前几项)间的关系,并且这个关系可
以用等式来表示.
5.数列表示方法及其比较
6.数列的前n项和
数列{SKIPIF10}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{SKIPIF10}的前n项和,记作SKIPIF10,即SKIPIF10=SKIPIF10+SKIPIF10++SKIPIF10.
如果数列{SKIPIF10}的前n项和SKIPIF10与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
SKIPIF10=SKIPIF10.
7.数列的性质
(1)单调性
如果对所有的SKIPIF10,都有SKIPIF10SKIPIF10,那么称数列{SKIPIF10}为递增数列;如果对所有的SKIPIF10,都有SKIPIF10
SKIPIF10,那么称数列{SKIPIF10}为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的SKIPIF10,都有SKIPIF10=SKIPIF10(k为正整数),那么称{SKIPIF10}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的SKIPIF10,都有SKIPIF10,那么称{SKIPIF10}为有界数列,否则称{SKIPIF10}为无界数列.
【题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】
【方法点拨】
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法:首先从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特
征;(2)各项能否分拆;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号
之间的规律.
【例1】数列32,?5
A.2n?12n
C.(?1)n+12n+12
【变式1-1】数列?1,13,?
A.an=?1
C.an=?1
【变式1-2】已知数列an的前4项为:1,?12,14,?1
A.an=12n B.an=
【变式1-3】数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是an=(
A.1910n
C.131?1
【题型2判断数列的项】
【方法点拨】
根据题目条件,结合数列
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