人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.3 等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（教师版）.docVIP

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专题4.3等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）

1．等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和公式

SKIPIF10=SKIPIF10(公式一).

SKIPIF10=SKIPIF10(公式二).

2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系

等差数列{SKIPIF10}的前n项和SKIPIF10=SKIPIF10=SKIPIF10+(SKIPIF10-SKIPIF10)n，令SKIPIF10=A，SKIPIF10-SKIPIF10=B，则SKIPIF10=SKIPIF10+Bn.

(1)当A=0，B=0(即d=0，SKIPIF10=0)时，SKIPIF10=0是常数函数，{SKIPIF10}是各项为0的常数列.

(2)当A=0，B≠0(即d=0，SKIPIF10≠0)时,SKIPIF10=Bn是关于n的一次函数，{SKIPIF10}是各项为非零的常数列.

(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，SKIPIF10≠0)时，SKIPIF10=SKIPIF10+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).

3．等差数列前n项和的性质

【题型1求等差数列的通项公式】

【方法点拨】

根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.

【例1】（2022·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列an的前n项和．若a2=18，S5=80，则数列

A．2n+22 B．22?2n

C．20?2n D．n

【解题思路】联立a2=18，

【解答过程】设等差数列an的公差为d，则a

解得a1=20d=?2

【变式1-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式an为（

A．an=6n+2 B．an=4n+2 C．

【解题思路】根据等差数列前n项和公式列方程求得a1与公差d

【解答过程】设公差为d，依题意得S10=10a1

所以an=

【变式1-2】（2021·广西·模拟预测（文））记Sn为等差数列an的前n项和，若a3=2,S4=7

A．n?1 B．n+12 C．2n?4 D．

【解题思路】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得a1

【解答过程】设等差数列an的公差为d，则a3=

∴a

【变式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12+a3

A．an=3n?5 B．an=12

【解题思路】根据条件a12+a3=7

【解答过程】设公差为d，则S3=3a1+a32

【题型2等差数列前n项和的性质】

【方法点拨】

根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.

【例2】（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若Sn

A．2528 B．3539 C．5558

【解题思路】利用等差中项求解即可.

【解答过程】因为an，bn为等差数列，所以S15=15

【变式2-1】（2021·全国·高二）设等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，并且SnTn

A．37 B．715 C．13

【解题思路】利用等差数列的前n项和的性质可求a6

【解答过程】a6

【变式2-2】（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9S3

A．717 B．310 C．314

【解题思路】根据题意S3,S

【解答过程】因为an为等差数列，所以S

因为S9S3=6，设S3=k,S

所以S12?S9=4k

【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知Sn,Tn分别是等差数列an与bn的前n项和，且

A．1120 B．4178 C．4382

【解题思路】利用等差数列的性质可得：b3+b

【解答过程】因为数列{bn}是等差数列，所以b

又因为Sn,Tn分别是等差数列{an}

所以a10b3

【题型3等差数列的前n项和与二次函数的关系】