人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.4 等比数列的概念（重难点题型精讲）（教师版）.docVIP

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专题4.4等比数列的概念（重难点题型精讲）

1．等比数列的概念

2．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

若G是a与b的等比中项，则SKIPIF10，所以SKIPIF10=ab，即G=SKIPIF10.

3．等比数列的通项公式

若等比数列{SKIPIF10}的首项为SKIPIF10，公比为q，则这个等比数列的通项公式是SKIPIF10=SKIPIF10SKIPIF10(SKIPIF10,q≠0).

4．等比数列的通项公式与指数函数的关系

等比数列{SKIPIF10}的通项公式SKIPIF10=SKIPIF10SKIPIF10可以改写为SKIPIF10=SKIPIF10，当q0且q≠1时，等比数列{SKIPIF10}的图象是

指数型函数y=SKIPIF10的图象上一些孤立的点.

5．等比数列的单调性

已知等比数列{SKIPIF10}的首项为SKIPIF10，公比为q，则

(1)当SKIPIF10或SKIPIF10时，等比数列{SKIPIF10}为递增数列；

(2)当SKIPIF10或SKIPIF10时，等比数列{SKIPIF10}为递减数列；

(3)当q=1时，等比数列{SKIPIF10}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q0时，等比数列{SKIPIF10}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶

数项异号).

6．等比数列的性质

设{SKIPIF10}为等比数列，公比为q，则

(1)若m+n=p+q，m,n,p,qSKIPIF10，则SKIPIF10.

(2)若m,n,p(m,n,pSKIPIF10)成等差数列，则SKIPIF10成等比数列.

(3)数列{SKIPIF10SKIPIF10}(SKIPIF10为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；

数列{SKIPIF10}是公比为SKIPIF10的等比数列；

数列{SKIPIF10}是公比为SKIPIF10的等比数列；

若数列{SKIPIF10}是公比为q的等比数列，则数列{SKIPIF10}是公比为q·q的等比数列.

(4)在数列{SKIPIF10}中，每隔k(kSKIPIF10)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为

SKIPIF10.

(5)在数列{SKIPIF10}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为SKIPIF10(或SKIPIF10)的等比数列.

(6)若数列{SKIPIF10}是各项都为正数的等比数列，则数列{SKIPIF10}(c0且c≠1)是公差为SKIPIF10的等差数列.

【题型1等比数列的基本量的求解】

【方法点拨】

根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.

【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列an中，a2+a4=3，

A．4 B．±4 C．2 D．±2

【解题思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.

【解答过程】a2+a4=qa1+

故选