2024—2025学年福建省部分优质高中高二上学期开学考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年福建省部分优质高中高二上学期开学考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知空间向量，若共面，则实数（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★★)2.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

(★)3.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（）

A．

B．

C．

D．6

(★)4.空间向量在上的投影向量为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（）

A．0

B．

C．

D．

(★★★★)7.已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（）

A．直线MN与所成角的余弦值为

B．平面与平面夹角的余弦值为

C．在上存在点Q，使得

D．在上存在点P，使得平面

(★★★★)8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★)9.若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)10.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）

A．

B．CE与OF所成角的余弦值为

C．四点共面

D．的面积为

(★★★)11.正四面体中，棱长为．点满足，则的（）

A．最小值为．

B．最大值为

C．最小值为

D．最大值为

三、填空题

(★★)12.设，向量，，，且，，则______．

(★★)13.如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则__________.

(★★★)14.如图，在正方体中，为棱的中点，是棱上的动点（不与端点，重合）.给出下列说法：

①当变化时，三棱锥的体积不变；

②当变化时，平面内总存在与平面平行的直线；

③当为中点时，异面直线与所成角的余弦值为；

④存在点，使得直线.

其中所有正确的说法是______.

四、解答题

(★★)15.已知平行六面体，底面是正方形，，，设．

(1)试用表示；

(2)求的长度．

(★★)16.已知点，，，设，，．

(1)若实数使与垂直，求值．

(2)求在上的投影向量．

(★★)17.如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★)18.如图，四棱锥中，平面∥是的中点.

(1)证明：平面；

(2)若二面角的余弦值是，求的值；

(3)若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

(★★★★★)19.如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；

(3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．