第五章 一元函数的导数及其应用（知识归纳+题型突破）（原卷版）.docx

第五章一元函数的导数及其应用

（知识归纳+题型突破）

1、抽象概括能力：能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，并进一步抽象出导数的概念.

2、推理论证能力：能利用导数对函数的单调性、极值、最大(小)值等性质进行分析、判断或求解；能准确使用导数的有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题.

3、运算求解能力：能根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算导数；能通过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大(小)值.

4、直观想象能力：能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数的图象，并由图象进一步认识函数的性质.

5、数学建模能力：能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题.

1、曲线的切线问题

（1）在型求切线方程

已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.

第二步：计算切线斜率.

第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

（2）过型求切线方程

已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.

步骤：第一步：设切点

第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；

第三步：令：，解出，代入求斜率

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

2、基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

(为常数)

3、导数的四则运算法则

（1）两个函数和的和（或差）的导数法则：

.

（2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：

；

.

（3）由函数的乘积的导数法则可以得出，

也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即

4、复合函数的导数

复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

5、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）

函数在区间内可导，

(1)若，则在区间内是单调递增函数；

(2)若，则在区间内是单调递减函数；

(3)若恒有，则在区间内是常数函数．

注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则

条件

恒有

结论

函数在区间上可导

在内单调递增

在内单调递减

在内是常数函数

6、求已知函数（不含参）的单调区间

①求的定义域

②求

③令，解不等式，求单调增区间

④令，解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令（或）不跟等号.

7、由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）已知函数在区间上单调

①已知在区间上单调递增，恒成立.

②已知在区间上单调递减，恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

（2）已知函数在区间上存在单调区间

①已知在区间上存在单调增区间使得有解

②已知在区间上存在单调减区间使得有解

（3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点

8、函数的极值

一般地，对于函数，

（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.

（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.

9、函数的最大（小）值

一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

题型一导数定义的理解

【例1】（2023·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（????）.

A． B． C． D．

反思总结:导数定义理解特别注意自变量改变量，本例中自变量从变化到，自变量改变量为

巩固训练

1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）利用导数的定义计算值为（????）

A．1 B． C．0 D．2

2．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设函数在处可导且，则．

题型二复合函数的导数

【例2】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

反思总结：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．解题时注意换元法的应用。

巩固训练

1．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：

(1)；(2)；(3)；(4)．

题型三