上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）.docx

上海市建平中学2024学年第一学期

第一次阶段学习评估（高二数学）

说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；

（2）请认真答卷，并用规范汉字书写．

一、填空题：（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.圆在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.

由题意可知：圆的圆心为O0,0，

因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，

而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，

故切线方程为：，即.

故答案为：

2.抛物线的焦点坐标是______.

【答案】

【解析】

【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

因为抛物线方程，焦点坐标为，且，

所以焦点坐标为，

故答案为：.

3.已知函数的定义域是，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的定义域为可得对恒成立，对参数的取值范围分类讨论，分别求出对应的范围，进而得出结果.

因为函数的定义域为，所以对恒成立，

当时，，符合题意；

当时，由，解得；

当时，显然不恒大于或等于0．

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

4.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；

【答案】4

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．

因为，

所以.

故答案为：4

【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．

5.双曲线的焦距是10，则实数的值为______．

【答案】或

【解析】

【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案.

若，则双曲线，

，所以焦距，

解得：.

若，则双曲线，

，所以焦距为，

解得：.

故答案为：或

6.设集合，是双曲线，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先求出集合，由交集的定义求解即可.

，

若表示双曲线，则，解得：，

所以，所以.

故答案为：

7.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为______．

【答案】3

【解析】

【分析】求出双曲线的渐近线方程，由四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质可得，再判断点在渐近线，将点坐标代入渐近线方程化简可求出离心率.

由题意得，双曲线的渐近线方程为，

因为四边形为平行四边形，所以与互相平分，

因为的中点坐标为，所以的中点坐标为，

因为，所以点，

因为，所以点在渐近线上，

所以，化简得，

所以离心率.

故答案为：3

8.设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可.

椭圆的参数方程为（为参数），

则可设点,

所以矩形的面积为，

所以，

因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立，

故矩形面积的最大值为1.

故答案为：1.

9.若直线ax+y+b﹣1＝0（a＞0，b＞0）过抛物线y2＝4x的焦点F，则的最小值是_____．

【答案】4

【解析】

【分析】由抛物线，可得焦点，代入直线方程可得

，再利用“乘法”与基本不等式即可求解.

由抛物线，可得焦点，

代入直线方程可得：

又

当且仅当时取等号.

的最小值为

故答案为：

【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及基本不等式求最值，需掌握抛物线的性质，属于基础题.

10.已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解.

如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴，

设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1，

设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离，

即，得或（舍），所以切线方程为，

联立，得，，得或（舍），

所以抛物线方程为.

故答案为：

11.坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解.

由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上，

因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点，

即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为，

联立，化简得