2024—2025学年广东省惠州市第一中学高二上学期9月阶段考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年广东省惠州市第一中学高二上学期9月阶段考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知向量，若，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.复数在复平面内对应的点在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★)3.设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

(★★)4.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距()

A．50m

B．m

C．60m

D．70m

(★★)6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，面积为，则（）

A．

B．

C．4

D．2

(★★★)7.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A．平均数为3

B．标准差为

C．众数为2

D．85%分位数为5

(★★★)10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（）

A．

B．与相互独立

C．与相互独立

D．与相互独立

(★★★)11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变

B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是

C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是

D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为

三、填空题

(★★)12.已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是______.

(★★)13.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______.

(★★★)14.已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为______．

四、解答题

(★★★)15.如图，四面体，，，，，，分别为棱，，，，，的中点.

(1)设，，，用向量，，分别表示、、；

(2)若，求证，，.

(★★★)16.在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接.

（1）证明：；

（2）连接，求与底面所成角的正切值；

（3）求二面角的平面角的正切值.

(★★★)17.为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.

(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；

(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；

(3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.

(★★★)18.设三个内角的对边分别为，且.

(1)求的值；

(2)设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.

(★★★★★)19.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点?棱?面之间的一些数量关系.例如，每个面都