2024—2025学年湖南省长沙市实验中学高三上学期第三次阶段性测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年湖南省长沙市实验中学高三上学期第三次阶段性测试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知复数满足，z的共轭复数为，则的虚部为（）

A．3

B．3i

C．

D．

(★★★)3.若，则的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（）

A．16

B．18

C．20

D．14

(★★★)6.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.若，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（）

A．0

B．1

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知复数，满足，下列说法正确的是（）

A．若，则

B．

C．若，则

D．

(★★★)10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（）

A．，，

B．当时，点P到x轴的距离的最大值为

C．当时，函数单调递减

D．当时，

(★★★★)11.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A．在上是“弱减函数”

B．在上是“弱减函数”

C．若在上是“弱减函数”，则

D．若在上是“弱减函数”，则

三、填空题

(★★)12.若曲线上点P的切线平行于直线，则点P的坐标是______.

(★★)13.在中，已知，为线段的中点，若，则______．

(★★★)14.已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有__________个，

四、解答题

(★★★)15.如图，已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求A的值；

(2)若，M为边BC上一点，且，求AM的长.

(★★★)16.如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且.

(1)证明：平面；

(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.

(★★★)17.已知函数在处的切线方程为.

(1)求实数a的值；

(2)探究在区间内的零点个数，并说明理由.

(★★★★)18.已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上.

(1)求C的方程；

(2)若，求直线AB的方程；

(3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值.

(★★★★)19.随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.

(1)试求，的值；

(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；

(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.