2024—2025学年江苏省常州市高二上学期学情调研测试一数学试卷.docVIP

2024—2025学年江苏省常州市高二上学期学情调研测试一数学试卷

一、单选题

(★★★)1.已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)3.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)4.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（）

A．①成立②不成立

B．①不成立②成立

C．①成立②成立

D．①不成立②不成立

(★★★)6.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（）

A．点的轨迹方程是

B．直线是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为

D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点）

(★★★★)7.已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）

A．曲线的图象不关于原点对称

B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

二、多选题

(★★★★)8.在平面上，定点、之间的距离.曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点，下列说法中正确的有（）

A．曲线C是中心对称图形

B．曲线C上有两个点到点、距离相等

C．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是

D．曲线C上的点到原点距离的最大值为

(★★★)9.到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题错误的是（）

A．曲线过原点

B．的横坐标最大值是2

C．的纵坐标最大值是

D．

(★★★★)10.某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（）

A．抛物线的方程为

B．的最小值为

C．的最大值为

D．若在上，则的最小值为

(★★★★)11.曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（）

A．曲线C关于直线交于不同于原点的两点，则

B．存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；

C．存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；

D．曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.

三、填空题

(★★★)12.已知圆的面积为，则__________．

(★★)13.已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．

(★★★)14.在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为________.

四、解答题

(★★★★)15.设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.

(1)求p；

(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.

(★★★)16.已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．

(★★★)17.已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．

(1)若到抛物线准线的距离为，求的值；

(2