2024—2025学年江苏省江阴市第一中学高二上学期9月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年江苏省江阴市第一中学高二上学期9月月考数学试卷

一、单选题

(★)1.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)2.已知，，若，则实数λ的值为（）

A．

B．

C．

D．2

(★★)3.已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（）

A．12

B．10

C．8

D．25

(★★★)6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（）．

A．

B．

C．

D．4a

二、多选题

(★★)9.已知复数，下列说法正确的是（）

A．若，则为纯虚数

B．若，则互为共轭复数

C．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆

D．若，则

(★★)10.下列说法中正确的是（）

A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为

C．若，，则直线的倾斜角为90°

D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点

(★★★)11.如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（）

A．与平面的夹角的正弦值为

B．点到的距离为

C．线段的长度的最大值为

D．与的数量积的范围是

三、填空题

(★★★)12.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_____________

(★★)13.已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为__________.

(★★★★)14.在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______.

四、解答题

(★★)15.设复数（其中），.

(1)若是实数，求的值；

(2)若是纯虚数，求.

(★★★)16.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．

(1)设，，，用表示；

(2)若，求．

(★★★)17.设直线l的方程为．

(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；

(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程；

(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．

(★★★)18.如图1所示中，，，，分别为，中点.将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得.连接，，得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.

(1)证明：平面；

(2)若，连接，，求直线与平面的夹角的正弦值；

(3)求动点到线段的距离的取值范围.

(★★★)19.在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．

(1)点到平面的距离；

(2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．