2024—2025学年上海师范大学附属中学闵行分校高三上学期9月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海师范大学附属中学闵行分校高三上学期9月月考数学试卷

一、填空题

(★★)1.若集合，，则________

(★★)2.若，则____.

(★★)3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18cm的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为__________.

(★)4.计算的值是__________．

(★★★)5.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，则第二次取到白球的概率为________．

(★★)6.已知向量，其中，若，则__________.

(★★★)7.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则__________．

(★★★)8.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

(★★)9.已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为______．

(★★★)10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______．

(★★★)11.公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．

(★★★★)12.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________.

二、单选题

(★)13.用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为（）

A．、都能被5整除

B．、不都能被5整除

C．、至多有一个能被5整除

D．、至少有一个都能被5整除

(★★)14.函数的图像在点处的切线方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)15.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（）

A．20

B．40

C．60

D．80

(★★★)16.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（）

A．函数存在“和谐区间”

B．函数不存在“和谐区间”

C．函数存在“和谐区间”

D．函数不存在“和谐区间”

三、解答题

(★★)17.已知函数是偶函数.当时，.

(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；

(2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.

(★★★)18.如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，.

(1)求三棱锥体积；

(2)若为中点，求与面所成角的正切值.

(★★★)19.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.

(1)求小张能全部回答正确的概率；

(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；

(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

(★★★)20.已知椭圆