3.2.2 双曲线的几何性质（十大题型）（解析版）.docxVIP

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3．2．2双曲线的几何性质

课程标准

学习目标

能类比椭圆性质的研究，利用方程推出双曲线的一些几何性质，进一步体会数形结合思想．

（1）掌握双曲线的几何性质．

（2）理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．

知识点01双曲线的简单几何性质

双曲线（a0，b0）的简单几何性质

范围

，即

或

双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．

对称性

对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．

顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．

②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．

③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．

②双曲线的焦点总在实轴上．

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

离心率

①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．

②因为，所以双曲线的离心率．

由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．

③等轴双曲线，所以离心率．

渐近线

经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．

我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．

【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）双曲线的顶点坐标是（????）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】双曲线的焦点在轴上，

因为，所以，

所以左顶点为，右顶点为.

故选：AB.

知识点02双曲线两个标准方程几何性质的比较

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点

轴

实轴长=，虚轴长=

离心率

渐近线方程

知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．

对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．

【即学即练2】（多选题）（2024·广东深圳·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（????）

A．的离心率为

B．的标准方程为

C．的渐近线方程为

D．直线经过的一个焦点

【答案】ABD

【解析】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，

则，解得：，

则，解得：，

所以的离心率为，A正确；

的标准方程为，B正确；

的渐近线方程为，C错误；

在直线上，故经过的一个焦点，D正确.

故选：ABD

知识点03双曲线的渐近线

（1）已知双曲线方程求渐近线方程：

若双曲线方程为，则其渐近线方程为

已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．

（2）已知渐近线方程求双曲线方程：

若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．

（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线

与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）

（4）等轴双曲线的渐近线

等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．

【即学即练3】（2024·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．

??

【答案】

【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为，

因为最小直径为，可得，即，

又因为尊高，上口直径为，底部直径为，

设点，

所以且，解得，即，

可得双曲线的渐近线为，

所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.

故答案为：.

知识点04双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征：

双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．

双曲线，