3.1.2 椭圆的几何性质（十大题型）（原卷版）.docxVIP

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3．1．2椭圆的几何性质

课程标准

学习目标

能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想．

1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．

2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．

知识点一：椭圆的简单几何性质

我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质

椭圆的范围

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．

椭圆的对称性

对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．

椭圆的顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．

③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

椭圆的离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．

②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．

知识点诠释：

椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），，；

（3），，；

【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（????）

A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△的周长为

C．的取值范围为 D．椭圆的离心率为

知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义

椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．

可借助下图帮助记忆：

a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．

和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．

【即学即练2】（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（????）

A． B．离心率范围

C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则

知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点

，

，

轴

长轴长=，短轴长=

离心率

知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．

【即学即练3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是.

①曲线关于坐标原点对称；

②的取值范围是；

③曲线是一个椭圆；

④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.

知识点四：直线与椭圆的位置关系

平面内点与椭圆的位置关系

椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，

若点在椭圆上，则有；

若点在椭圆内，则有；

若点在椭圆外，则有．

直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；

②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；

③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

直线与椭圆的相交弦

设直线交椭圆于点，两点，则

同理可得

这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

【即学即练4】（2024·全国·高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为．

知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法：

1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有．

【即学即练5】（2024·江西宜春·高二高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为

题型一：