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第01讲导数的概念及其意义、导数的运算
目录
TOC\o1-2\h\z\u模拟基础练 2
题型一:导数的定义及变化率问题 2
题型二:导数的运算 2
题型三:在点P处的切线 6
题型四:过点P的切线 7
题型五:公切线问题 9
题型六:已知切线或切点求参数问题 12
题型七:切线的条数问题 14
题型八:利用导数的几何意义求最值问题 16
题型九:牛顿迭代法 19
题型十:切线平行、垂直、重合问题 21
题型十一:奇偶函数图像的切线斜率问题 26
题型十二:切线斜率的取值范围问题 27
重难创新练 29
真题实战练 39
题型一:导数的定义及变化率问题
1.设是定义在R上的可导函数,若(为常数),则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选:C.
2.对于函数,若存在,求:
(1);
(2).
【解析】(1)时,
(2)
又
题型二:导数的运算
3.求下列函数的导数:
(1)(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】(1)因为,
所以
.
(2)因为,
所以
.
(3)因为,
所以
.
(4)因为,
所以.
(5)因为,
所以.
(6)因为,
所以.
4.求下列函数的导数:
(1);????????
(2).?????(3);
(4);??????
(5)y=.?????????
(6);
(7);???????????
(8);??????????
(9)y=.
(10)????????????????
(11)?????????????
(12).
【解析】(1)因为,所以;
(2)因为,
所以;
(3)因为,
所以;
(4)因为,
所以;
(5)因为,
所以;
(6)因为,
所以;
(7)因为,
所以;
(8)因为,所以;
(9)因为,
所以y′==
==;
(10)因为,
所以;
(11)因为,
所以;
(12)因为,
所以.
5.已知函数,则的值为.
【答案】
【解析】由题意知:,所以,
所以,所以,
所以.
故答案为:.
6.(2024·河南·一模)已知函数的导函数为,且,则的极值点为(????)
A.或 B. C.或 D.
【答案】D
【解析】对进行求导,可得,
将代入整理,①
将代入可得,即,
将其代入①,解得:,故得.于是,由可得或,因,
故当时,,当时,,
即是函数的极小值点,函数没有极大值.
故选:D.
题型三:在点P处的切线
7.曲线在点处的切线方程为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,
,
曲线在点处的切线方程为:
,即,
故选:C.
8.(2024·黑龙江·二模)函数在处的切线方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,则,
当时,则,所以,
所以切点为,切线的斜率为,
所以切线方程为,即.
故选:D
9.(2024·全国·模拟预测)函数的图象在点处的切线方程为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,可得,则,又,
则所求切线方程为,即.
故选:B.
10.下列函数的图象与直线相切于点的是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.,在的切线斜率为0,不符合;
B.在的切线斜率为1,所以切线为,成立;
C.D.两个函数均不经过,不符合.
故选:B.
题型四:过点P的切线
11.过原点的直线与相切,则切点的坐标是.
【答案】
【解析】由题意设切点坐标为,
由,得,故直线的斜率为,
则直线l的方程为,
将代入,得,
则切点的坐标为,
故答案为:
12.已知直线为曲线过点的切线.则直线的方程为.
【答案】或
【解析】∵,∴.???
设直线与曲线相切于点,则直线的斜率为,
∴过点的切线方程为,
即,又点在切线上,
∴,整理得,∴,
解得或;
∴所求的切线方程为或.
故答案为:或.
13.已知函数,过点作曲线的切线,则其切线方程为.
【答案】
【解析】设切点为,由,则,
则,
所以切线方程为,
又切线过点,所以,解得,
所以切线方程为,即.
故答案为:
14.在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数),则点的坐标是,切线方程为
【答案】
【解析】设点,则.又,
当时,,
曲线在点A处的切线方程为,即,
代入点,得,即,
记,当时,,当时,,
且,当时,单调递增,
注意到,故存在唯一的实数根,此时,
故点的坐标为,切线方程为,故答案为:,
题型五:公切线问题
15.经过曲线与的公共点,且与曲线和的公切线垂直的直线方程为(????)
A.
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