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§4二项式定理
4.1二项式定理的推导
1.在(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数为().
A.Cnr
C.Cnr-
解析:二项展开式中第r项的二项式系数为Cn
答案:C
2.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是().
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
答案:D
3.已知x-
A.17 B.-17
解析:T4=C73x4-1
答案:B
4.在x2
A.-20 B.20
C.15 D.-15
解析:二项式通项为Tk+1=C6kx26-k·-
令3-k=0,得k=3,所以常数项为(-1)3×20×C6
答案:A
5.(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为().
A.80 B.120
C.240 D.320
解析:因为(x+y)(2x+y)5=x(2x+y)5+y(2x+y)5,(2x+y)5的二项式通项为Tk+1=C5k(2x)5-k·yk=25-kC5kx5-k·yk,因此当k=3或k=2时得到x3y3项,所以展开式中x3y3的系数为22C
答案:B
6.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为.?
解析:由二项式通项,得T7=C106·(-i)6=-
答案:-210
7.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展开式中x3的系数为.?
解析:x3的系数为C33+C4
答案:330
8.A=37+C72·35+C74·33+C76·3,B=C71·36+C7
解析:A-B=37-C71·36+C72·35-C73·34+C74·33-C75·3
答案:128
9.记2x+1xn
(1)求bm的表达式;
(2)若n=6,求展开式中的常数项;
(3)若b3=2b4,求n.
解:(1)2x+1xn的展开式中第m项为Cnm-1
(2)当n=6时,2x+1xn的二项式通项为Tk+1=C6k·(2x)6-k·1xk
依题意,令6-2k=0,得k=3,
故展开式中的常数项为T4=23·C6
(3)由(1)及已知b3=2b4,得2n-2·Cn2=2·2n-3·Cn
10.已知f(,g(,n∈N+).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项;
(2)令h(x)=f(x)+g(x),若h(x)的展开式中含,n为何值时,含=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.
(1+x)3的二项式通项为C3kx
(1+2x)4的二项式通项为C4r(2x)
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为
1×C42(2x)2+C31x×C41(2x)+
(2)h(x)=f(x)+g(+(1+2x)n.
因为h(x)的展开式中含+2n=12.
所以m=12-2n.
含x2的项的系数为Cm2+4Cn2=C12-2n2+4Cn
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