第09讲 双曲线及其性质【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

第09讲双曲线及其性质

【人教A版2019】

·模块一双曲线的定义和标准方程

·模块二双曲线的几何性质

·模块三课后作业

模块一

模块一

双曲线的定义和标准方程

1．双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2．双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

双曲线在坐标系中的位置

标准方程

焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系

【考点1曲线方程与双曲线】

【例1.1】（2023秋·高二单元测试）方程x2-y

A．当θ=

B．当θ∈π2

C．当θ=

D．当θ∈0,π

【解题思路】根据cosθ的值或范围结合各曲线或直线方程的特点对选项一一验证即可

【解答过程】对于A：当θ=π2时，方程为x2=1，表示x

对于B：x2-y2cosθ=1化为x2+y2-1

对于C：当θ=π时，方程为x2+y

对于D：x2-y2cosθ=1化为x2-y21cos

故选：B.

【例1.2】（2023春·全国·高二开学考试）已知曲线C的方程为x22-k-y22k-5=1

A．-1k5 B．k52 C．

【解题思路】根据焦点在y轴上的双曲线的方程特征进行求解即可.

【解答过程】若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则2k-50

故选：D．

【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“ab0”是“方程ax2+b

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解题思路】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可

【解答过程】解：ax2+

当ab0，则a0且b0或a0且b0

若方程x21a+y

故选：C.

【变式1.2】（2023秋·湖南常德·高二校考期末）已知曲线C的方程为x2k2

A．当k=8时，曲线C为椭圆，其焦距为

B．当k=2时，曲线C为双曲线，其离心率为

C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线

D．当k=3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆x

【解题思路】根据k的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定A,B的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定C的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知D

【解答过程】对于A，当k=8时，曲线C的方程为x

焦距2c=262-2

对于B，当k=2时，曲线C的方程为x

则a=2，c=6，∴离心率

对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则6-k

∴不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；

对于D，当k=3时，曲线C的方程为x27

则圆x-42

∴双曲线渐近线与圆x-42+

故选：B.

【考点2利用双曲线的定义解题】

【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2为双曲线C：x23-y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，

A．3-2 B．3+2 C．

【解题思路】结合双曲线定义数形结合判断QF1+PQ取最小值时，P,Q,F

【解答过程】由双曲线定义得QF

故Q

如图示，当P,Q,F2三点共线，即Q

∵F22,0,P

联立x23-y2=1，解得点Q的坐标为

故|Q

故选：A.

【例2.2】（2023秋·广东广州·高三校考开学考试）已知双曲线Γ:x24-y22=1的左右焦点分别为F1,F2

A．5+4 B．25+4 C．2

【解题思路】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出BF2

【解答过程】由双曲线Γ:x2

因为∠F2AB

作F2C⊥AB于C，则C

设F2A=

可得F1

故cos∠

又由余弦定理得cos∠

所以4x=x

故选：C.

【变式2.1】（2023·高二课时练习）设F1，F2是双曲线x24-y26=1

A．6 B．12 C．610 D．

【解题思路】利用双曲线定义结合已知求出PF1及PF2

【解答过程】双曲线x24-y26=1

因PF1=3PF2，由双曲线定义得

显然有PF12

所以△PF1

故选：A.

【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）设双曲线x29-y216=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2+y2=9

A．-12 B．-1 C．-32 D

【解题思路】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，即可得解.

【解答过程】由题意可知：双曲线x29-y216=1焦点在x轴上，a=3

设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），

由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=12丨PF2

由PF与圆x2+y2=9相切于点N，则△ONF为直角三角形，

∴丨NF丨