第10讲 函数与方程【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（解析版）_1_1.docx

第10讲函数与方程

【人教A版2019】

·模块一零点存在定理

·模块二零点个数问题

·模块三二分法

·模块四课后作业

模块一

模块一

零点存在定理

1．函数零点存在定理

(1)函数零点存在定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.

(2)函数零点存在定理的几何意义：

在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.

【考点1求零点所在区间】

【例1.1】（2023秋·北京丰台·高三校考阶段练习）函数f(x)=-

A．0,12 B．12,1 C．

【解题思路】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.

【解答过程】易知增函数加增函数为增函数，函数f(x)在定义域(0,+

f(2)=log22-12=1-

故选：C.

【例1.2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程log3x+

A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4

【解题思路】将问题转化为fx=

【解答过程】设fx=log3x

∵y=log3x与y=x

对于A，∵f1=log31+1-2=-1，∴当

对于B，∵f1=-10，f

∴?x0∈1,2，使得

对于CD，当x2时，fxf20，∴fx在区间2,3

故选：B.

【变式1.1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数fx=x2-5,x≤-2x

A．-3 B．-2 C．1 D

【解题思路】根据x的取值范围不同，分别解出f(x

【解答过程】当x≤-2时，fx=x2

当x-2时，fx=xlg

当f(x)=1时，解得x∈

故选：C.

【变式1.2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知三个函数fx=x3+x-3，gx=22x+x-2

A．cba B．ac

【解题思路】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.

【解答过程】因为y=x3，y=22x

所以由题知函数fx，gx，hx在各自定义域上都为增函数，又f1=-10，f2=70，∴a∈

h3=ln3-20，h

∴c

故选：D.

模块二

模块二

零点个数问题

1．零点转换

根

零点

交点

方程f(x)=0的根

函数y=f(x)的零点

f(x)图象与x轴交点的横坐标

方程f(x)=g(x)的根

函数y=f(x)-g(x)的零点

f(x)与g(x)图象交点的横坐标

【考点2求零点个数】

【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=lg-x

A．6 B．5 C．4 D．3

【解题思路】将函数y=f2x-3fx+2的零点个数转化为方程fx

【解答过程】函数y=

即方程fx=1和fx

由图可得方程fx=1和fx=2的根，共有4个根，即函数

故选：C．

【例2.2】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数fx是R上的奇函数，且满足fx=f2-x，当x∈

A．8 B．7 C．6 D．5

【解题思路】首先根据条件分析函数的对称性，以及判断函数的周期性，并画出函数y=fx和

【解答过程】由已知得函数fx是奇函数，所以f-x

所以f2-x=-f-

所以函数fx的周期T

并且函数满足fx=f2-x

当x∈0,1时，fx=x

??

设gx=log

由函数图像可分析fx与gx的交点个数为

故选：D.

【变式2.1】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f

A．14 B．13 C．12 D．11

【解题思路】由题设易知y=f(x)(x∈R)是周期为

【解答过程】因为f(x+1)=-

所以y=f(

因为x∈[-1,1]时f(x)=1-x

x0时g(x)∈(0,1)且递增，0x1时

又f(-6)=1g(-6)，f

????

由图知：区间[-6,6]上函数交点共有12个．

故选：C．

【变式2.2】（2023秋·云南大理·高二校考开学考试）已知abc0，定义域和值域均为-a,

??

A．方程fgx=0有且仅有三个解 B

C．方程ffx=0有且仅有五个解 D

【解题思路】根据函数图象判断复合函数的零点情况，即可判断各项的正误.

【解答过程】A：由题意fx=0时，x=b或

故fgx=0时，则gx=

∵ab0，则b∈

故gx=b

B：由图知gx=0时x=b，故gf

由y=fx图象知f

C：fx=0时，x=b或

由ffx=0得：fx=b或

∴-c-b-a，故fx=

故ff

D：gx=0时x=b，由ggx=0

故gx=b有唯一解，故

故选：B.

【考点3已知零点个数求参】

【例3.1】