北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 空间向量与立体几何 4.1 直线的方向向量与平面的法向量.docVIP

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§4向量在立体几何中的应用

4.1直线的方向向量与平面的法向量

必备知识基础练

1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.(1,2,3) B.(1,3,2)

C.(2,1,3) D.(3,2,1)

2.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为()

A.-13

C.-13

3.下列说法中不正确的是()

A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B.一个平面的所有法向量互相平行

C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直

D.如果向量a,b与平面α共面,且向量n满足n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量

4.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则()

A.x=6,y=15 B.x=3,y=15

C.x=3,y=15 D.x=6,y=15

5.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),下列结论正确的有()

A.AP⊥AB

B.AP⊥AD

C.AP是平面ABCD的一个法向量

D.AP

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=22,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系是.?

7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求平面BCC1B1的一个法向量;

(2)求平面A1BC的一个法向量.

8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.

关键能力提升练

9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为()

A.-1,2 B.1,-2

C.1,2 D.-1,-2

10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()

A.1,

B.(1,2,1)

C.(1,1,1)

D.(2,-2,1)

11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()

A.(1,-4,2) B.1

C.-1

12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是()

A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)

B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)

C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

13.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是.?

14.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,则点D的坐标为.?

15.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在PB上,问点F在何位置时,PB为平面DEF的一个法向量?

学科素养创新练

16.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.

答案：

1.A

2.B设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有2x+2y+z=0

取x=1,则y=-2,z=2,

所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是-1

3.D选项A,B,C的说法显然正确.对于D选项,只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理:与平面内两条相交直线都垂直的直线垂直于相交直线所在的平面.故选D.

4.D

5.ABC因为AB·AP=-2-2+4=0,所以AP

因为AD·AP=-4+4=0,所以AP

由AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,可得AP是平面ABCD的一个法向量,C正确;

直线BD在平面ABCD内,则AP⊥BD,D错误.

故选ABC.

6.PM⊥AM以D