第12讲 同角基本关系与诱导公式【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（解析版）_1_1.docx

第12讲同角基本关系与诱导公式

【人教A版2019】

·模块一同角基本关系式

·模块二诱导公式

·模块三课后作业

模块一

模块一

同角基本关系式

1．同角三角函数的基本关系

(1)同角三角函数的基本关系

基本关系式

语言描述

平方关系

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.

商数关系

同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.

(2)基本关系式的变形公式

【考点1同角基本关系式的应用】

【例1.1】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）若θ∈0,π2,

A．-255 B．255 C

【解题思路】根据同角三角函数的关系求解可得sinθ，cosθ

【解答过程】因为tanθ=12，故sinθ

因为θ∈0,π2，故

故sinθ

故选：C.

【例1.2】（2023上·广东广州·高三校考阶段练习）已知tanθ=2，则sin2

A．-25 B．25 C．-

【解题思路】将sin2θ+sinθcos

【解答过程】由题意知tanθ=2

=tan

故选：D.

【变式1.1】（2023·海南·校联考模拟预测）若α∈0,π，且cosα-

A．4+75 B．4-75 C．

【解题思路】先左右两边平方，得出sinα

【解答过程】∵cosα-sinα=12，∴

∴sinαcosαsin2α

∴tanα=4-

∵α∈0,π，且cosα-

∴0tanα1

故选：D.

【变式1.2】（2023上·安徽六安·高三校联考阶段练习）已知sinα+cosα=3

A．-35 B．35 C．-

【解题思路】利用同角三角函数的基本关系求出tanα、cos2

【解答过程】因为sinα

所以sinα

即sinαcosα

显然cosα≠0，所以cosα

又sin2α+

所以cos2

故选：D.

【考点2弦切互化】

【例2.1】（2023上·广西·高二校考开学考试）已知tanα=-13，则

A．-1 B．1 C．516 D

【解题思路】利用三角函数齐次式进行弦化切，从而代入tanα即可得解

【解答过程】因为tanα

所以sinα

故选：C.

【例2.2】（2023·高一单元测试）已知sinα+3cosα2

A．65 B．35 C．25

【解题思路】先利用齐次式求出tanα，再把待求式子进行弦化切，代入求解

【解答过程】∵sinα+3cosα

则cos2

故选：A.

【变式2.1】（2022下·浙江温州·高一校联考开学考试）已知角α∈0,π2，sinα

A．2 B．2 C．1 D．-1

【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，化为正切解方程即可得解.

【解答过程】由sinα

解得tanα=2或

因为α∈0,π

故选：A.

【变式2.2】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）若tanα=-13，则

A．103 B．53 C．23

【解题思路】根据三角函数基本关系式的sin2α+cos

【解答过程】因为sin2

所以cos2

又tanα

所以原式=1

故选：A.

【考点3三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系】

【例3.1】（2021·全国·高一专题练习）求证：

(1)sinα-cos

(2)2

【解题思路】（1）将左边化为sinα

（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.

【解答过程】（1）左边=sin

=sin2α

（2）左边=2sin2

=2

=21-3sin2

【例3.2】（2022下·高一课时练习）求证：

(1)sin2

(2)已知tanα=1

【解题思路】利用同角三角函数的基本关系进行证明即可.

【解答过程】（1）左边=

=3+2tan2

（2）sin

=19

【变式3.1】（2023·全国·高一随堂练习）求证：

(1)sin4

(2)sin4

(3)cosα

【解题思路】（1）利用平方差公式及sin2α

（2）利用提取公因式及sin2x

（3）利用通分，因式分解等式的运算结合sin2α

【解答过程】（1）sin4

故sin4α

（2）sin

=sin

故sin4x

（3）cos

=

=

=

=

=

=2

故cosα1+

【变式3.2】（2023·全国·高一随堂练习）求证：

(1)1+2sin

(2)tan2

(3)cosα

(4)sin4

【解题思路】根据同角关系即可化简求解.

【解答过程】（1）左边=1+2sinx

（2）左边=tan2θ

（3）左边=cosα-

（4）左边=sin4x+

模块二

模块二

诱导公式

1．诱导公式

(1)诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

七

八

角

正弦

余弦

正切

余切

口诀

函数名不变，符号看象限.

函数名改变，符号看象限.

(2)诱导公式的作用

诱导公式

作用

公式一

将任意角转化为0～2π的角求值

公式二

将0～2π的角转化为0~π的角求值

公式三

将