第13讲 正弦函数与图象变换【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（解析版）_1_1.docx

第13讲正弦函数与图象变换

【人教A版2019】

·模块一正弦函数的图象与性质

·模块二三角函数的图象变换

·模块三课后作业

模块一

模块一

正弦函数的图象与性质

1．正弦函数的图象

(1)正弦函数的图象

①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法

观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形

状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.

(2)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”

的连续光滑曲线.

2．正弦函数的性质

(1)周期函数

①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，

且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

(2)正弦函数的性质

正弦函数的图象与性质如下表：

函数

y=sinx

图象

定义域

R

值域

[-1,1]

周期性

最小正周期：2π

奇偶性

奇函数

单调性

增区间

减区间

最值

图象对称性

对称中心：

对称轴方程：

【考点1正弦函数的图象与性质】

【例1.1】（2023上·甘肃武威·高二校考阶段练习）已知函数fx=sin2x-π

A．0,π2 B

C．5π12,

【解题思路】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解.

【解答过程】当x∈0,π

所以当2x-π3∈

故选：B.

【例1.2】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-π2

A．-32 B．-1 C．1

【解题思路】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.

【解答过程】因为函数f(x)在3π8

所以有7π

所以ω?

因为y=

所以ωπ8+φ=

而ω≤2，所以ω

当ω=2时，2

因为-π2

即f(

当x∈3π

所以f(

当ω=-2时，-

因为-π2

即f(

当x∈3π

故选：D.

【变式1.1】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）若函数fx=A

??

①ω=2；②φ=-π6；③fx在

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】由图像经过的特殊点5π12,2和

【解答过程】由题图，得A=2，最小正周期T

又T=2πω=

fx=2sin2x

所以2×5

所以φ=2

又φπ2，所以φ

fx=2sin2x-π

函数y=sint在2

f-π2=2

故选：C.

【变式1.2】（2023下·新疆塔城·高一校考期中）已知函数fx=sin3x

A．函数fx+

B．若fx1-fx

C．函数fx在π12

D．当x∈0，

【解题思路】由函数的对称性可以求出φ的值，再结合偶函数的定义、正弦型函数的单调性逐一判断即可.

【解答过程】因为函数fx=sin

所以fπ

因为-π2φπ2

对于A选项：fx

对于B选项：若fx1-

所以x1-x

对于C选项：x∈π12

函数y=sint

对于D选项：当x∈0，

函数y=fm=sin

函数y=fm

所以有f3π

因此fx的值域是-

故选：B.

【考点2正弦函数中的含参问题】

【例2.1】（2023上·江苏盐城·高三统考期中）若函数fx=sinωx+π6

A．1,+∞ B．1,+∞ C．0,1 D

【解题思路】由0xπ3，得到π6

【解答过程】解：因为0x

所以π6

因为fx在0,

所以π3

∴0ω

故选：D.

【例2.2】（2023上·山东济南·高三校考阶段练习）若存在实数φ∈0,π2，使得函数y=sinωx

A．13,+∞ B．16,+∞

【解题思路】以ωφ+π

【解答过程】因为φ∈0,π2，且

若函数y=sinωx

则π2ω+

故选：C.

【变式2.1】（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数fx=sinωx+π6

A．23,83 B．16,

【解题思路】根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.

【解答过程】因为ω0，所以当0

则有π6

因为fx在区间0,

结合函数图象，得π2

解得23

故选：A.

【变式2.2】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知函数fx=sinωx+φω0．若?x∈R，f

A．(0，32] B．(34，32] C．(34，94] D．

【解题思路】根据题意，π3为fx的最大值点，根据fx在0,π上恰有