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仿射变换理论及其在几何中的应用

仿射变换理论在几何中地位非常重要,它比正交变换解决的问题范围更广.本文中我们将看到仿射坐标系,在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的基本性质,例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为平行的两直线。本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯(Menelaus)定理。后来本文介绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量。最后本文介绍了利用本文的有关性质解决一些问题。这样使得读者更好的了解这篇文章。

欧式几何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面几何中都是讨论图形的那些与距离，角度，面积，等有关的性质，如三角形全等，平行，垂直等.但是图形的各种变形中,保持任意两点之间的距离不变的变换是十分特殊.例如,图形的放大,物体在阳光照射下变成它们的影子等,都不具有这种性质,即都不是正交变换.因此,我们考虑较正交变换广泛一点的点变换,即仿射变换.本文讨论了仿射变换的概念及其性质，同时给出了其在几何中的应用.

1平面上的仿射坐标系与仿射变换

我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点及两个不共线的向量

(不一定是单位向量，且不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系

如图1

对于平面上任一点，则向量可唯一地表示为

数组称为关于仿射坐标系的仿射坐标.

定理1.0在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程

（1.00）

反之也真.

证明在直线上任取两点对于直线上任一点有,

即

,

或

这是关于的一次方程.

反之，在（1.00）上取及的坐标适合方程，

即

(1.02)

(1.03)

只要证明任一坐标适合方程的点一定与共线即可，由于

(1.04)

因不全为零，（1.02），（1.03），（1.04）可理解为关于,的齐次线性方程组，由于不全为零，所以

,

即共线.

定义1.1在平面上点之间的一个线性变换

（1.05）

叫做仿射变换，其中分别是的仿射坐标.

从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.

例1有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.

注1）正交变换是仿射变换的特例.

2)仿射变换的几何意义就是平面到自身的平行影链.

2仿射变换的基本性质

定义1.2图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）.

性质1仿射变换将直线变为直线.

证明有仿射变换的代数表示式（1.05），其逆变换为

（1.06）其中.

设有直线

仿射变换（1.06）下,有

(1.07)

由于不全为零且,

故和不全为零.

因此（1.07）是关于的一次方程,从而它表示一直线，及即仿射变换将直线变为直线.

性质2两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线

证已知两条平行直线：其中

经过仿射变换（1.06）后,分别变为

令

于是

且（否则）这说明）（1.08）,(1.09)表示的直线平行.

注两直线平行是仿射变换的不变性质.如

任何一个仿射变换将平面仿射作标系变为另一个仿射坐标;

任何一个变换将平行四边形变为平行四边形;

任何一个仿射变换将梯形变为梯形;

任何一个仿射变换将等腰三角形变为三角形;

通常我们把经过仿射变换可以相互转换的图形为仿射等价的图形.

例如圆与椭圆是仿射等价的.

下面引入仿射变换基本不变量:单比（仿射比）

定义1.3设是有向直线的两个顶点,是这有向直线的另一点,分有向线段为两个有向线段和,则其代数长的比叫做共线三点的单比，记为,

即（1.10）

特别当为的中点时,.

设是一条直线上的三点,其中为的仿射坐标(图2),则

.(1.11)

同理

(1.12)

性质3任何一个仿射变换保持共线三点的单比不变.

证在仿射坐标系下,是一条直线上的三点,它们在仿射变换(1.05)下的像为,由于仿射变换将共线点变为共线点,因此是另一条直线上的三点,

又

因此

所以

定义1.4平面内一点变换，如果满足下列条件：

任何共线点的像仍是共线点.

任何共线三点的单比不变.

性质4两平行线段的比是仿射不变量.

证设线段,

经仿射变换后,其对应线段和也平行,

现在要证

连接,作交于(图3),

由于仿射变换保持平行性和结合性(将共线点变为共线点),

所以的对应点在上,且,

由于仿射变换保持共线三点的单比不变,

有

即

又

故

至此,一些主要涉及平行线,线段中点及平行线段的比等几何性质,都是仿射不变性质,例如

三角形两边中点的连线平行于第三边且它的长等于第三边的一半.

任意平行四边形对角线互相平分.

(3)任意三角线的重心（三条中线的交点）

性质5[1]两个三角形面积的比是仿射不变量.

证设在