广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题（含答案解析）.docx

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广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，则A的真子集数量是（????）

A．8 B．7 C．32 D．31

3．已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（????）

A． B． C． D．

4．8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（????）

A．28 B．2520 C．105 D．128

5．设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．以下什么物体能被放进底面半径为，高为的圆柱中（?????）

A．底面半径为，母线长为的圆锥

B．底面半径为，高为的圆柱

C．边长为的立方体

D．底面积为，高为的直三棱柱

7．设数列an的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．已知，，，则a，b的大小关系是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，且，则下列不等式中成立的有（????）

A． B．

C． D．

10．抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数的直线，分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（????）

A．直线过定点

B．在C，D两点处的切线斜率和为

C．上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6

D．当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为

11．已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（????）

A．

B．

C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为

D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一

三、填空题

12．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是．

13．已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为（为关于的函数）的图象，则双曲线的离心率的取值范围是．

14．设函数的零点为，则当a的取值为时，的最大值为．

四、解答题

15．数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

16．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．

??

(1)求证：PB∥平面ACE；

(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；

17．某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有的故障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产．

(1)求第一个月恰好翻新一组设备的概率；

(2)设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量X，求X的均值．

18．设函数，．

(1)当时，比较和的大小关系；

(2)证明：的图象与的图象关于直线对称；

(3)在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：．

19．在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割线”．

(1)证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”；

(2)试探究双曲线在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

C

A

B

C

D

ABC

BCD

题号

11

答案

ABD

1．B

【分析】根据复数的几何意义及乘法运算判定即可.

【详解】由图象可知，

所以，

其对应的点为，显然位于第二象限.

故选：B

2．D

【分析】利用指数函数的单