3.2 函数的单调性-(必修第一册) (教师版).pdf

函数的单调性

1函数单调性的概念

=()∈

一般地，设函数的定义域为，区间:

∀,∈()()()

如果12，当12时，都有12，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函

数()在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

∀,∈()()()

如果12，当12时，都有12，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函

数()在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

1

=(0,+∞)

Eg：在上单调递减，但它不是减函数，

()()

特别注意它的减区间是0,+∞,(−∞,0)，不是0,+∞∪(−∞,0).

2单调性概念的拓展

①若=()递增，，则(2)().

211

2

=()()≥(0)

比如：递增，则.

②若=()递增，(2)≥()，则≥.

121

=(),(1−)≥(),1−≥

比如：递增则.

=()递减，有类似结论！

3判断函数单调性的方法

①定义法

解题步骤

(1)任取,∈，且；

1212

(2)作差()()；

－

12

(3)变形(通常是因式分解和配方)；

()()

(4)定号(即判断差1－2的正负)；

()

(5)下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．

②数形结合

③性质法

增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；

但增函数×增函数不一定是增函数，比如=，=−2均是增函数，而=(−2)不是.

④复合函数的单调性

(1)如果=()(∈),=()(∈),则=[()]=()(∈)称为、的复合函数；

112

()

=()=()=+

比如：2(和的复合函数)；

+

()1−2

=(()=和()=1−2的复合函数)；

1

1

(