4.1 指数函数-(必修第一册) (教师版).docx

指数函数

1指数运算

(1)n次方根与分数指数幂

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.

注意：(1)(na)n=a(2)当n是奇数时，

(2)正数的正分数指数幂的意义

①正数的正分数指数幂的意义，规定：am

巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)

Egx=x1

②正数的正分数指数幂的意义：a?

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

(3)实数指数幂的运算性质

①as?a

②as

③(ab)r=

2指数函数概念

一般地，函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x

3图像与性质

函数名称

指数函数

定义

函数y=ax(a0

图象

a1

0a1

定义域

R

值域

(0,+∞)

过定点

图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在R上是增函数

在R上是减函数

a变化对图

象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

【题型一】指数幂的化简与求值

【典题1】求值(27

【解析】原式=

=5

=2

=121

【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.

【典题2】已知x12?

【解析】由x12?x?

所以x+1

【点拨】注意x12?x?

【典题3】化简11+62

【解析】11+6

=3+

=3+2

=6.

【点拨】化简形如a+

巩固练习

1(★)化简3aa

【答案】a?

【解析】原式=a

2(★★)如果45x=3，45y=5，那么

【答案】1

【解析】由45x=3，得

则452x

∴452x+y

故答案为1．

3(★★)已知a+1a=7，则

【答案】3

【解析】由a+1a=7，可得a0

∴a

故选：A．

4(★★)(214)

【答案】12

【解析】(21

=3

5(★★)求值7+43+7?43

【答案】4

【解析】7+43

6(★★★)已知实数x,y满足3x+3y=

【答案】1,

【解析】设3x+3y

又3x

∴3x+y=

∴t2?t2≤

∴1t≤2；

由已知，

27

=t?t

∴t=32时，27x+27y3x

所以27x+2

故答案为：(1,98

7(★★★)已知2a=3

A．a+b=ab B．a+b4

C．a?12

【答案】C

【解析】∵2a

∴2ab=

∴2

∴6

∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2ab

∵a≠b，∴ab2ab

∴a+b=ab4，

∴a－1

∵a2+

故选：C．

【题型二】指数函数的图象及应用

【典题1】函数y=21?x的图象大致是()

A． B． C． D．

【解析】

方法1函数y=2

(利用x=

∴当x1时，y=2x?1是增函数，当x≤1时，

且x=1时，y=1，即图象过(1,1)点；

∴符合条件的图象是A．

故选：A．

方法2利用函数的图象变换

去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称

故选：A．

【典题2】设函数f(x)=|2x?1|，cba，且f(c)f(a)f(b)，判断2

【解析】f(x)=|2x?1|的图象可看成fx

由图可知，要使cba且f(c)f(a)f(b)成立，

则有c0且a0，

故必有2c1且

又fc?f(a)0，即为

∴2

【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：

①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；

②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.

巩固练习

1(★)二次函数y=?x2?4x(x?2)

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】C

【解析】因为二次函数y=－x

且x=－1时，y=－x2－4x=3

则在坐标系中画出y=－x2－4x(x－2)

由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，

故选C．

2(★★)若函数y=ax+m?1(0a1)的图象和x

A．[1,+∞) B．(0,1) C．(－∞,1) D．[0,1)

【答案】D

【解析】0a1时，0

∴m－1a

由函数y的图象和x轴有交点，

∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，

综上，实数m的取值范围是[0,1)．

故选：D．

3(★★)如图所示，函数y=|2

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵y=|2x－2|=2x?2,x≥12?

4(★★)已知实数a,b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0ba

③0ab；④ba0；⑤a=b．其中可能成立的关系式有()

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤

【答案】B

【解析】令f(x)=2x和g(x)=3x，

由图象可