6.1-6.2 计数原理与排列组合 -(选择性必修第二、三册) (学生版).docx

计数原理与排列组合

1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

①分类加法计数原理

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn

②分步乘法计数原理

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn

③分类计数原、理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

Eg小芳要去party，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去party呢？显然是3+4×5=23种方式.

2排列

①排列概念

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个排列.

②排列数

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An

A

或

A

③阶乘

n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!=1．

3组合

①组合概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

②组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn

C

③排列与组合的区别

(1)排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”，

比如(Ⅰ

(Ⅱ

显然问题Ⅰ，Ⅱ的答案是C50

(2)从n个元素中取出m个元素的排列(排列数An

可以理解为分为两步：

第一步从n个元素中取出m个元素组合，得到组合数Cn

第二步再对m个元素进行排列，得到排列数Am

A

③组合数的性质

①规定:C

②C

(比如C10

③C

(从n+1个中抽出m个Cn+1m=抽不到元素A的组合数Cnm

④r

(rCnr

PS若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！

【题型一】计数原理

【典题1】18本不同的书，任选3本分给3个学生，每人一本有多少种不同的分法？

(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

35名运动员争夺3

45名运动员报名参加3

【典题2】某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分(如图)，现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．(用数字作答)

巩固练习

1(★)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

2(★)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

3(★)将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是

4(★★)如图，用4种不同的颜色给三棱柱ABC?A1B1C

5(★★)如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一

种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有

【题型二】排列组合数的性质

【典题1】解方程

(1)C9x

【典题2】化简Am

巩固练习

1(★)[多选题]下列等式正确的是()

A．(n+1)Anm

C．Cnm=A

2(★★)求证：kn?k

3(★★★)设m,n∈N

(m+1)C

【题型三】排列组合解题策略

方法1特殊元素和特殊位置优先策略

遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.

【典题1】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

【典题2】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

【练习】6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.

方法2相邻元素捆绑策略

若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题.

即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.

【典题1】7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

【练习】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为.

方法3不相邻问题插空策略

若某些元素要求不能相邻，则采取插空法.

即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.

【典题1】一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序