6.3 二项式定理 -(选择性必修第二、三册) (学生版).docx

二项式定理

1二项式展开式

a+b

2二项展开式的通项公式

T

3二项式系数表(杨辉三角)

a+bn展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…

4二项式系数的性质

(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cnm

(2)增减性与最大值：

当n是偶数时，中间一项Cnn2取得最大值；当n

(3)二项式系数和：Cn

奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n?1

备注∵

令x=1，则2n

令x=?1，则Cn0

奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n?1

特别提醒

1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式Tr+1=C

2．在使用通项公式Tr+1=Cnr

【题型一】二项式展开式

【典题1】若x2+1ax6的展开式中，x3的系数是

A．a=?12 B．所有项系数之和为

C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320

【典题2】在二项式2x+16

A.20B.160C.240D.192

巩固练习

1(★★)[多选题]关于x2

A．奇数项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为－1

C．只有第3项的二项式系数最大 D．含x项的系数为－80

2(★★)[多选题]设常数a∈R,n∈N

A．若a1n，则各项系数随着项数增加而减小 B．若各项系数随着项数增加而增大，则

C．若a=－2，n=10，则第7项的系数最大 D．若a=?2，n=7，则所有奇数项系数和为239

3(★★★)[多选题]设1+2x5=a0+

A．1 B．2 C．3 D．4

4(★★★)已知二项式(2x+1x)n(n∈N?

(1)求n的值；

(2)求展开式中常数项；

(3)计算式子C6

【题型二】两个二项式相乘

【典题1】已知(1+ax2)(2x?

A．a=2

B．展开式中常数项为64

C．展开式系数的绝对值的和2187

D．若r为偶数，则展开式中xr?2系数是xr系数的

【典题2】(1?x)6(1+x

巩固练习

1(★★)(x3

A．－19 B．－55 C．21 D．56

2(★★)已知正整数n≥7，若x?1x1－xn的展开式中不含x

A．7 B．8 C．9 D．10

3(★★)(1?x)?(x+1x+2

A．10 B．2 C．－14 D．34

4(★★★)(x+ax)(2x?1

A．a=1 B．展开式中含x6项的系数是－32

C．展开式中含x－1项 D．展开式中常数项为40

【题型三】多项式展开式

【典题1】x2－4x+1x

A．840 B．－600 C．480 D．－360

巩固练习

1(★★)在(1?x+1x2021

A．2021 B．28 C．－28 D．－56

2(★★)x+y－z6的展开式中xy2

3(★★)已知等差数列{an}的第5项是x?1

【题型四】系数问题

【典题1】已知1－x2

A．a0=0

C．a1+a

【典题2】若1+x+1+x2

A．n=6

B．1+2xn展开式中二项式系数和为

C．(1+x)+1+x2

D．a

巩固练习

1(★★)[多选题]已知2+x1－2x

A．a0的值为2B．a5的值为

C．a1+a2+a3

2(★★★)[多选题]已知x－210

A．a0=1 B．

C．a12+

3(★★★)[多选题]已知2x－3x－2

A．a1+a

C．a12+a

【题型五】其他应用

【典题1】证明32n+2－8n－9能被64整除(n∈

【典题2】求0.9986的近似值，使误差小于0.001

【典题3】求证：Cn

【典题4】用二项式定理证明：2n

巩固练习

1(★★)若n是正奇数，则7n+C

A．2 B．5 C．7 D．8

2(★★)用二项式定理证明：1110－1能被

3(★★)求1.028

4(★★)求和W=C

5(★★)用二项式定理证明：1+1

6(★★★)记f(a)为ax+1n二项展开式中的x3项的系数，其中a∈{1,2,3,…,n}，

(1)求f(1)，f(2)，f3(2)证明：