北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷（含答案解析）.docx

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北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B．

C． D．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（????）

A． B． C． D．

3．下列函数中，在区间上单调递减的是（????）

A． B．

C． D．

4．已知实数满足，则下列不等式中正确的是（????）

A． B．

C． D．

5．欧拉公式（为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，在复平面中位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．已知函数，那么不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

7．设，，，则，，的大小关系是（????）

A． B． C． D．

8．若，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

10．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（????）

M

2

3

7

11

13

0.301

0.477

0.845

1.041

1.114

A．13 B．14 C．15 D．16

二、填空题

11．函数的定义域是.

12．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则.

13．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

14．对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，根据这一发现，函数的对称中心是.

15．已知函数给出下列四个结论：

①当时，的最小值为0；

②当时，存在最小值；

③当时，在上单调递增；

④的零点个数为，则函数的值域为.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16．设函数.

(1)若，求的值；

(2)已知在区间上单调递增，，，求，的值.

17．在中，．

(1)求；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

18．某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

性别

人数

获奖人数

一等奖

二等奖

三等奖

男生

200

10

15

15

女生

300

25

25

40

假设所有学生的获奖情况相互独立．

(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）

19．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)若，证明：当时，.

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；

(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

21．已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.

(1)设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求；