第03讲 立体几何中的向量方法【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1.docx

第03讲立体几何中的向量方法

【人教A版2019】

·模块一向量法判定位置关系

·模块二向量法求空间角

·模块三向量法求距离

·模块四课后作业

模块一

模块一

向量法判定位置关系

1．空间中直线、平面的平行

(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.

(2)线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则l∥α?u⊥n?u·n＝0.

(3)面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.

2．利用向量证明线线平行的思路：

证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．

3．证明线面平行问题的方法：

(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；

(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；

(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．

4．证明面面平行问题的方法：

(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．

(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．

5．空间中直线、平面的垂直

(1)线线垂直的向量表示：设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.

(2)线面垂直的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.

(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.

6．证明两直线垂直的基本步骤：

建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

7．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：

(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．

(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．

8．证明面面垂直的两种方法：

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．

(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．

【考点1求平面的法向量】

【例1.1】（2023春·江苏镇江·高二校考期末）已知向量AB=1,1,-1,AC=-1,1,0

A．1,1,2 B．1,-1,0 C．-1,1,2 D．

【解题思路】根据法向量的定义逐项分析判断.

【解答过程】对于选项A：若n=1,1,2，则

可得n⊥AB,n⊥AC，所以

对于选项B：若n=1,-1,0，则

可得n与AC不垂直，所以n=1,-1,0不是平面ABC的一个法向量，故

对于选项C：若n=-1,1,2

可得n与AB→不垂直，所以n=-1,1,2不是平面

对于选项D：若n=-1,1,0

可得n与AC不垂直，所以n=-1,1,2不是平面ABC

故选：A.

【例1.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知A1,0,0,B

A．-1,1,1 B．

C．1,1,1 D．1

【解题思路】利用平面法向量的求法求解即可.

【解答过程】因为A1,0,0,B

设平面ABC的一个单位法向量为n=

则AB?n=-

经检验，仅1,1,1符合题意．

故选：C．

【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量a=(1,1,1)，b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c

A．-1，2 B．1，-2

C．1，2 D．-1，-2

【解题思路】求出向量c的坐标后，利用向量c是平面α的法向量，得c⊥a

【解答过程】c

=(m

由c为平面α的法向量，得c·a=0

解得m

故选：A.

【变式1.2】（2023秋·河南许昌·高三校考开学考试）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B

A．（1，-2，4） B．（-4，1，

C．（2，-2，1） D．（1，2，-

【解题思路】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量n=(x,

【解答过程】解：设正方体的棱长为2，则A(2,0,0),E(2,2,1)

∴AE=(0,2,1),

设向量n=(x,

则n?AE=2y+

则n=(-4,1,-2)是平面AEF

结合其他选项，只需和n=(-4,1,-2)

检验可知，ACD选项均不与n=(-4,1,-2)共线

所以能作为平面AEF的法向量只有选项

故选：B．

【考点2空间线、面平行关系的判定及应用】

【例2.1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面