第03讲 平面向量的数量积 (高频考点—精练）（解析版）_1.docx

第03讲平面向量的数量积(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则(????)

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【详解】﹒

故选：B．

2．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为（????）

A． B． C． D．1

【答案】C

【详解】解：，，

在方向上的投影为，

在方向上的投影向量为,

则在上的投影向量的模为．

故选：C．

3．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（????）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【详解】由两边平方得，

，

，

解得.

故选：D

4．（2022·四川绵阳·高一期末）已知平面向量满足，若，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【详解】由得，

由得，即

故选：B

5．（2022·安徽·高三开学考试）已知向量均为单位向量，且，则（????）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】解：因为向量均为单位向量，且，

所以，，

所以，

故选：B.

6．（2022·湖南·长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（????）

A．5 B．6 C． D．

【答案】C

【详解】解：由题得

.

故选：C

7．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，是单位向量，

所以，

又因为，，

所以，

，

所以，

因为，

所以．

故选：B．

8．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题可设，由可知，

所以，

所以，

∵，

∴，即.

故选：C.

二、多选题

9．（2022·江苏南通·高一期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（????）

A． B．与的夹角为

C． D．在上的投影向量为

【答案】BC

【详解】，,

,解得,故A错误

,，

由于，与的夹角为，故B正确,

,故C正确

在上的投影向量为，故D错误,

故选：BC

10．（2022·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（????）

A． B． C．3 D．

【答案】BC

【详解】由题意：

因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，

所以，所以，

故选：BC．

三、填空题

11．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知向量，且，则实数_____________．

【答案】2

【详解】因为，又，

所以，

解得．

故答案为：2.

12．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.

【答案】##0.25

【详解】因为，所以，展开整理化简得：.

所以.

即与的夹角的余弦值为.

故答案为：.

四、解答题

13．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知向量．

(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；

(2)若与垂直，求的值．

【答案】(1)或(2)

（1）因为两向量共线，是单位向量，所以设，得到解得或．

（2）因为与垂直，所以，即，解得．

14．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知向量=（，），，=（1，）.

(1)若，求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)(2)

(1)由题知，得，

又，

(2)由题知，得，

即.

B能力提升

15．（2022·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.

(1)求证：；

(2)点是线段中点，求的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知，，所以三角形ABD为等边三角形，则，又，所以，即为直角三角形，且，所以，所以；

（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以，则，所以，

16．（2022·广东广州·高一期中）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．

(1)直接写出点、、的坐标；

(2)若，求与夹角的大小；

(3)若，当得最小值时，求点的坐标及的最小值．

【答案】(1)，，

(2)

(3)最小值为，点的坐标为

（1）解：因为半圆的直径，所以，，

又，，

则，即．

（2）解：由（1）知，，??????????

∴.????????????????