第3章 空间向量及其应用（知识归纳+题型突破）（原卷版）（沪教版2020选择性必修第一册）.docx

第3章空间向量及其应用（知识归纳+题型突破）

题型一空间向量的有关概念

题型二空间向量及其加减运算

题型三空间共线向量定理

题型四空间共面向量定理

题型五空间向量的数乘运算

题型六空间向量的数量积运算

题型八空间向量运算的坐标表示

题型九空间中直线的方向向量

题型十空间向量的应用

题型十一空间向量及其应用解答综合题

1.空间向量的有关概念

名称

定义

空间向量

在空间中，具有大小和方向的量

相等向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量

共线向量

(或平行向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb(b≠0，λ∈R)

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0(a≠0，b≠0)

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))

夹角

〈a，b〉(a≠0，b≠0)

cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

在空间求平面的法向量的方法：

（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

（2）待定系数法：建立空间直接坐标系

①设平面的法向量为

②在平面内找两个不共线的向量和

③建立方程组：

④解方程组，取其中的一组解即可。

6.空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2

l1∥l2

u1∥u2?u1＝λu2

l1⊥l2

u1⊥u2?u1·u2＝0

直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n

l∥α

u⊥n?u·n＝0

l⊥α

u∥n?u＝λn

平面α，β的法向量分别为n1，n2

α∥β

n1∥n2?n1＝λn2

α⊥β

n1⊥n2?n1·n2＝0

常用结论：

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

4.在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面